Matematické Fórum

Tibof · 09. 01. 2016 11:51

Zdravím, má vyšetřit průběh funkce $f(x)=e^{1/(x+2)}$ , ale nevím si s tím vůbec rady. Budu rád za každou pomoc.

Rumburak

↑ Tibof:

Ahoj.

Jde o funkci složenou - vnější funkcí je funkce exponenciální, vnítřní funkcí je funkce $g(x)=1/(x+2)$ .
Vždy je vhodné začít vyšetřováním definičního oboru a oboru funkčních hodnot, spojitosti, diferencovatelnosti.
V dalším se zabýváme hledáním intervalů monotonie a lokálních extrémů, pak přijde na řadu vyšetřování
konvexnosti resp. konkávnosti a inflexních bodů.

Tibof · 09. 01. 2016 12:29 — Editoval Tibof (09. 01. 2016 12:31)

Díky za rychlou odpověď,
def. obor mi vyšel $D(f)=\mathbb{R}-\{-2\}$ , první derivace pak $-\frac{e^{\frac{1}{x+2}}}{(x+2)^{2}}$ , abych určil kladnost/zápornost funkce, musí být výraz roven 0, ale k tomu nikdy nedojde, nebo ano?
Stejný případ mi pak vychází i u druhé derivace.

Rumburak

↑ Tibof:

abych určil kladnost/zápornost funkce, musí být výraz roven 0

To ovšem není správná úvaha.

D(f) se tedy skládá ze dvou otevřených intervalů, na každém z nich je funkce f spojitá (proč ?), kladná a klesající
(např. proto, že má zápornou derivaci).
Chtělo by to určit limity v krajních bodech těchto intevalů, tak dostame obor hodnot té funkce.

Druhá derivace vyšla jak ?

Tibof · 09. 01. 2016 14:10

Pardon, druhou derivaci jsem měl špatně, po opravě mi vyšla $\frac{e^{\frac{1}{x+2}}\cdot (2x+5)}{(x+2)^{4}}$ , takže inflexní bod bude v $x=-\frac{5}{2}$ .
Konkávnost pak vychází v intervalu $(-\infty ; -\frac{5}{2})$ , konvexnost v intervalu $(-\frac{5}{2};\infty )$ ?

Rumburak · 11. 01. 2016 10:29

↑ Tibof:
Druhou derivaci jsem nepřepočítával. Pokud je Tvůj výpočet správný, pak je správný i Tvůj závěr.

Tibof · 11. 01. 2016 12:56

Děkuji, ještě bych se chtěl zeptat, jde nějakým způsobem poznat, jak rychle bude graf v intervalu $(-\infty ;-2)$ klesat?

Rumburak

Když v $e^{1/(x+2)}$ provedeme (pro větší pohodlí) substituci např. $t =-1/(x+2) \in (0; \infty)$ ,
pak určitou představu o asymptotickém chováni dané funkce pro $x \to -2_{-}$ získáme vyšetřením limity

$\lim_{t \to +\infty} \frac {e^{-t}}{t^a}$

v závislosti na parametru $a$ .

Pro "globální" pohled by bylo možno využít Maclaurinova rozvoje funkce $z \mapsto e^z$ v mocninnou řadu.