Matematické Fórum

Tanner · 09. 01. 2016 22:02

Zdravím,

Potřeboval bych poradit s jednou věcí. Mám dokázat pro limitu z definice,

$\lim_{x\to\infty } \frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[4]{n}}=\infty$

Brano · 09. 01. 2016 22:13

asi si chcel
$\lim_{n\to\infty } \frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[4]{n}}=\infty$
dost pomoze ked si upravis
$\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[4]{n}}=n^{1/12}$

Tanner · 09. 01. 2016 22:19

Mohl by jsi to prosím dopočítat celé? Nějak mi nedochází souvislost.

Je mi jasné že An - a bude větší než nějaké epsylon. Ale nějak to nedokáži spočítat na jednoduchý výsledek.

kajzlik

Ahoj,

ukaž, že vždy existuje nějaké $K >0$ takové, že $n^{(1/12)} > K$ od urciteho indexu

Tanner · 09. 01. 2016 22:43

Bude výsledek n je větší než $\log_{1/12}K$ ?

Freedy · 09. 01. 2016 23:48

↑ kajzlik:
to není moc přesná formulace.
Pro všechna K existuje $n_{0}$ , že platí $n^{\frac{1}{12}}>K$

↑ Tanner:
skoro.
Řešíš nerovnici:
$n^{\frac{1}{12}}>K$ jak se ti tam mohl dostat logaritmus? :o

Tanner · 09. 01. 2016 23:55

No, abych řekl pravdu, vždy jsme to dělali jen pro limitu = 0 a limita byla na nějakou mocninu, takže jsme to řešili takhle.

Bohužel nevím, jak dokázat právě tohle, pro = $\infty$

Freedy · 09. 01. 2016 23:59

Vždyť to je definice nevlastní limity. Že existuje k libovolně velkému K číslo n0 že pro všechny n-ka větší než toto n0 platí $a_n>K$
Kdyby mi někdo dal číslo $K=1000$
Tak potom řeším nerovnici:
$n^{\frac{1}{12}}>1000$
$n>1000^{12}$
Tedy pro všechna $n>1000^{12}$ platí, že $n^{\frac{1}{12}}>1000$

Tanner · 10. 01. 2016 00:44

Takže výsledek můžu zapsat ve tvaru

$n^{\frac{1}{12}} > K, +1 ?$

Sergejevicz · 10. 01. 2016 10:34

↑ Tanner:
Kdyžtak epsilon, ne epsylon :-). Ale pro důkaz, že limita je +/-nekonečno, je zvykem toleranci hodnot posloupnosti značit $K$ .

Chceš se dobrat toho, že $a_n > K$ pro libovolné

Označme nejprve $a_n := \frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[4]{n}}=n^{1/12}$ .

Je $a_{n+1}=(n+1)^{1/12}>n^{1/12}=a_n$ pro libovolné přirozené n - posloupnost je rostoucí.

Zvolíme libovolné $K > 0, K\in\mathbb{R}$ . Hledáme $n_0\in\mathbb{N}$ takové, aby
$a_{n_0} \geq K$ . (*)

Po dosazení za $a_{n_0}$ má tedy platit
$n_0^{1/12} \geq K$ ,
tedy
$n_0 \geq K^{12}$ . (**)

To $n_0$ má být přirozené, tak položíme
$n_0=\lceil{K^{12}}\rceil$
(ty závorky značí horní celou část čísla $K^{12}$ ).
Takhle zvolené n_0 splňuje totiž nerovnost (**), která je ekvivalentní s nerovností (*), kterou budeme potřebovat.

Díky tomu, že $a_n$ je rostoucí, jak jsme zjistili na začátku, pak pro libovolné $n\in\mathbb{N}, n>n_0$ platí
$a_n > a_{n_0}$ . (***)

Nakonec v (***) použijeme nerovnost (*), a tak dostáváme $a_n>K$ .

Takže shrnuto: Pro libovolné $K > 0, K\in\mathbb{R}$ jsme našli $n_0=\lceil{K^{12}}\rceil$ , pro které je splněno:
$\forall n>n_0: a_n > K$ .
Tedy jsme naplnili definici toho, že $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ . :-)