Matematické Fórum

malarad · 10. 01. 2016 12:50

Hezký den, je můj postup správný?
$\int_{}^{}\frac{1-\cos x}{(1+\cos x)\sin x}\ \ dx$
substituce:
$y=\cos x$
$\frac{dy}{dx}=-\sin x$
$dx=\frac{dy}{-\sin x}$

$\int_{}^{}\frac{1-\cos x}{(1+\cos x)\sin x}\ \ dx$ =
$\int_{}^{}\frac{1-y}{(1+y)\sin x}\cdot \frac{dy}{-\sin x}$ =
$\int_{}^{}\frac{1-y}{(1+y)-\sin ^{2}x}\ \ dy$ =
$\int_{}^{}\frac{1-y}{(1+y)(\cos^{2}x-1)}\ \ dy$ =
$\int_{}^{}\frac{1-y}{(1+y)(\cos x+1)(\cos x-1)}\ \ dy$ =
$\int_{}^{}\frac{1-y}{(1+y)(y+1)(y-1)}\ \ dy$

a toto mám rozložit na parciální zlomky?
díky

Jj · 10. 01. 2016 13:02 — Editoval Jj (10. 01. 2016 13:03)

↑ malarad:

Dobrý den.

Řekl bych, že takto lze, ještě je možno v posledním integrandu krátit (a parciální zlomky nebudou třeba).

Bati · 10. 01. 2016 13:04 — Editoval Bati (10. 01. 2016 13:04)

Ahoj ↑ malarad:.
Jednak se mi na tom nelíbí, že po substituci tam máš x, měl bys to napsat takhle:
$\frac{1-\cos{x}}{(1+\cos{x})\sin{x}}=\frac{1-\cos{x}}{(1+\cos{x})(1-\cos^2{x})}\,\sin{x}$
a teď substituci, ale dalo se říct, že to je spíš formalita.

To, co mi přijde horší je, že se vůbec nezabýváš tím, kde je integrand definován a na kterém intervalu počítáš primitivní funkci.

malarad · 10. 01. 2016 13:27

↑ Jj:
pokud tedy zkrátím v posledním ingegrandu, tak budu mít:
$\int_{}^{}\frac{1-y}{(1+y)(y+1)(y-1)}\ \ dy$ = $\int_{}^{}\frac{1}{(1+y)(y+1)}\ \ dy$ = $\int_{}^{}\frac{1}{(1+y)^{2}}\ \ dy$ a toto mi povede dále na co?

Jj · 10. 01. 2016 13:36

↑ malarad:

Ještě pozor na znaménko:

$\int \frac{1-y}{(1+y)(y+1)(y-1)}\, dy=-\int \frac{y-1}{(1+y)(y+1)(y-1)}\, dy=-\int \frac{1}{(1+y)^2}\, dy$

Zkuste uplatnit vztah obdobný tomuto: $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$

malarad · 10. 01. 2016 13:47

↑ Jj:
já rohatej dělal chybu že jsem zkracoval $(1-y)$ s $(1+y)$ bez vytknutí znaménka, pak mi nešlo toto $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$
díky

malarad · 10. 01. 2016 13:48

↑ Bati:
to je pravda, to by tam být mělo, dík

Matematické Fórum

#1 10. 01. 2016 12:50

integrál

#2 10. 01. 2016 13:02 — Editoval Jj (10. 01. 2016 13:03)

Re: integrál

#3 10. 01. 2016 13:04 — Editoval Bati (10. 01. 2016 13:04)

Re: integrál

#4 10. 01. 2016 13:27

Re: integrál

#5 10. 01. 2016 13:36

Re: integrál

#6 10. 01. 2016 13:47

Re: integrál

#7 10. 01. 2016 13:48

Re: integrál

Zápatí