Matematické Fórum

Hertas · 26. 12. 2015 16:33

Ahoj,

už je to nějakou dobu co jsem naposled integroval a spoustu triků jsem již zapomněl, proto se obracím na Vás jelikož vždy dobře poradíte :)

úloha je následující:
$x^2+y^2+z^2 \le a^2$
$(x-b)^2+(y-c)^2 \le d^2$
$|z| \le e$

zprvu mi to přišlo jako prosté upravování rovnic, ale po nějaké době jsem si uvědomil, že to tak úplně nebude.

Vzhledem k symetrii můžeme uvažovat, že střed válce je pouze v prvním kvartálu roviny xy a stačí uvažovat pouze kladnou část osy z a výsledek potom vynásobit dvěma.

K samotné úloze: nejprve jsem ji řešil pomocí válcové transformace se středem ve středu válce, později mi došlo, že na tom vůbec nezávisí a že mohu zvolit například válcovou transformaci se středem v počátku, tj.:

$x=\rho cos \phi$
$y=\rho sin \phi$
$z = \xi$

po dosazení narážím na první problém: jak určit úhel $\phi$ , který se navíc bude měnit v každé hladině osy z
podobně potom ze znalosti úhlu potom budu muset vyvodit meze pro $\rho$ a jediná nezávislá proměnná je zde $\xi$

Pokud byste někdo věděl co s takovou úlohou dělat budu moc rád, za každou pomoc.

Přeji hezký zbytek Vánočních svátků a šťastný Nový rok :)

Sergejevicz · 27. 12. 2015 00:21

Já si dovolím nejprve několik lehce OT připomínek k jazyku, abychom pěstovali taky tu kulturu :-).

Hertas napsal(a):
...v prvním kvartálu roviny xy...

Správně je "kvadrantu". :-)

Hertas napsal(a):
...že na tom vůbec nezávisí...

Správně je v tomto případě "nezáleží", nikoliv "nezávisí" (správně je nepř. buď "čas závisí na rychlosti", nebo "(ono) záleží na tom, jak rychle pojedeme", ne naopak. Tedy "záviset" resp. "záležet" se používá v případě, že podmětná část ve větě je resp. není). :-)

A k tomu zadání: to je nějaké neúplné, ne? Hádám, že zadání je "Vypočítejte objem průniku těles vymezených podmínkami... a teď ty tři nerovnosti".

Dále si myslím, že je-li tomu tak, tak tam musejí být ještě nějaké doplňující podmínky, aby jednak průnik byl neprázdný a jednak aby některá nerovnice nebyla nadbytečná.

Tak například by $e$ měo být menší než $a$ , aby nebyla nadbytečná třetí nerovnice. Dále by mělo být $\sqrt{b^2+c^2}<a+d$ , aby se vůbec válec s koulí pronikl tak, aby průnik byl třírozměrný.

Po odpovědi budu pokračovat :-).

Jo, a ještě jedna jazyková vsuvka: Myslel jsi asi nový rok, ne Nový rok, že jo? :-p (a "Vánočních" je s malým "v" :-)).

Hertas · 27. 12. 2015 18:15

Za mluvnické nedostatky se omlouvám, při psaní dotazu jsem byl ještě lehce svátečně ovíněn :)

Jinak k samotné úloze, jedná se samozřejmě o spočtení objemu tělesa, jež je tvořeno průnikem těles popsaných nerovnostmi.

Jestli se nepletu tak zadané nerovnosti jednoznačně popisují nějaké těleso a podmínky, které dále popisuješ:
$\sqrt{b^2+c^2}<a+d$
$e \le a$

nemusí být součástí zadání, protože z něj vyplývají. Pokud by platilo $\sqrt{b^2+c^2}> a+d$ , pak je průnik prázdný a objem takového tělesa je nula. Stejně tak, pokud by výška válce byla vyšší než poloměr koule, nemusí nás vůbec zajímat ta část, jež převyšuje kouli v jejím nejvyšším bodě.

Pro úplnost tedy doplňuji do zadání ještě $\sqrt{b^2+c^2} \le a+d$ , $e \le a$

Sergejevicz

Ona právě ta nerovnost pro a, b, c, d musí být dokonce ostrá, aby průnik byla třírozměrná množina, a byl tedy objem toho tělesa nenulový :-). Někde jsem to tam nějak psal.

Se vztahem a a e tam je ještě komplikovanost, totiž aby e mělo vliv, musí být omezené shora v závislosti i na a, b, c, d, jinak bude válec dostatečně vysoký na to, aby e nemělo vliv. Já se k tomu ještě nějak v průběhu diskuze vrátím.

Nejprve bych nastínil podle mě nejjednodušší netriviální případ (vyhnu se triviálním případům typu, že válec obsahuje celou kouli a naopak, pak je to jasné), a to když budou platit následující podmínky:
1) $\sqrt{b^2 + c^2} + d \leq a$ , je-li $b \neq 0 \vee c \neq 0$ ,
2) $d < a$ , je-li $b = 0 \wedge c = 0$
3) e dostatečně velké, aby válec vyčníval oběma podstavami mimo kouli, čemuž odpovídají jisté nerovnosti, které se mi sem teď nechce vymýšlet :-).

V tom případě vypadá situace v průmětu do roviny Oxy tak, že válec resp. koule se jeví jako kruh K resp. L a K je buď uvnitř L, nebo má s L vnitřní dotyk. Pak bych se snažil postupovat stylem "integrovat sféru s kladným z coby funkci ró a fí, a to přes plochu K parametrizovanou polárními souřadnicemi s pólem v centru K".

Je toho hodně, co bych k tomu napsal, ale nemám moc času, tak uvidíme, jak to budu zvládat.

Hertas · 29. 12. 2015 21:27 — Editoval Hertas (29. 12. 2015 21:48)

Tak jsem si trošku započítal :)

Nejprve jsem uvažoval střed válce mimo kouli a zároveň $d<a$ . Určil jsem omezení na výšku (díky symetrii mě zajímá pouze kladná část osy z), ta mi vyšla následovně:
$z \in <0, \sqrt{b^2+c^2+d^2-2d\sqrt{b^2+c^2}-a^2}>$
Dále se dá celkem snadno najít omezení na $\rho$ a to $\rho \in <a, \sqrt{b^2+c^2}-d^2>$
Problém nastává při určení rozpětí úhlů. Dal jsem obě tělesa do rovnosti a vypadlo mi $-b*cos \phi - *sin \phi = \frac{\xi^2+a^2+d^2-b^2-c^2}{\rho^2}$ s čímž už dál asi nehnu.

Pokud je střed válce ve středu koule:
po provedení válcové transformace, kdy $\phi \in <-\pi, \pi>$ , je zřejmé, že $\xi \in <0, min\{a,e\}>$ , a dále $\rho \in <0, min\{d, \sqrt{a^2- \xi^2} \}>$ a to se už dopočte snadno

Nicméně mne napadá případ, kdy bude platit $\sqrt{b^2 + c^2} + d \leq a$ a $\sqrt{b^2 + c^2} - d > 0$ , v takovém případě nemám tušení, jak bych určil rozpětí úhlů.

EDIT:
u toho prvního případu tam mám špatně omezení pro $\rho$ , ještě doplním

Sergejevicz · 30. 12. 2015 00:08

↑ Hertas:
Myslel jsi v prvním případě mimo střed koule, ne mimo kouli, že jo? :-). Uvažuješ tedy ten můj první případ? Já měl na mysli, že platí ty moje tři podmínky všechny zároveň. Třeba tvé d < a ještě nestačí k tomu, aby celý průřez válce v úrovni z = 0 byl schován v kouli.

Jak jsi přišel na meze pro z?

Jaká tělesa jsi dal do rovnosti? Pozor na to, že když se ze zadaných nerovností udělají rovnosti, jde pak o rovnice povrchů těles. Jestli jsi měl na mysli rovnosti povrchů, tedy rovnice, které splňují společné průniky povrchů těles, tak těmi průniky jsou pak třeba celé křivky.

Když bych pokračoval zlehka v tom svém případu, tak rovnice horní polosféry (= povrchu horní polokoule, horní chápejme jeko se z > 0) je (vyjádřeno z nerovnice definující kouli osamostatněním "z" nalevo)
$z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ .

$z$ teď chápu jako funkci $x$ a $y$ , označím si ji $f(x,y)$ . Mám tedy
$f(x,y) = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ .

Prve jsem navrhoval použít polární souřadnice, ale není to nutné. Napadá mě jiný trik, a to ten, že já si můžu představit, že osa válce prochází kolmo osou x. Protože pokud tomu tak není, lze aplikovat otočení kolem z tak, aby tomu tak už bylo. Takže můžeme předpokládat, že $c = 0$ . Pak je navíc situace symetrická podle roviny Oxz, takže budu intebrovat nejen v kladných "z", ale i v kladných "y" a pak vezmu ne dvoj- el rovnou čtyřnásobek vypočítané hodnoty jako výsledek.

S těmito uváženími se pak bude f integrovat od b-d do b+d podle x a podle y od nuly do něčeho, co závisí na x, a to něco je hodnota y-ové souřadnice bodu na polokružnici K s kladným y. Toto y vajádříme z rovnice válce s uvážením c = 0 - tato mez je $\sqrt{d^2-(x-b)^2}$ .

Takže počítáme (včetně toho čtyřnásobku)
$4 \int\limits_{a-d}^{a+d}\int\limits_{0}^{\sqrt{d^2-(x-b)^2}}\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}\mathrm{d}y \mathrm{d}x$

Na pořadí integrace záleží, protože meze vnitřního integrálu závisejí na x.

Když se kružnice K bude pronikat s kružnicí L (označuju ty kružnice stejně jako kruhy v mém minulém příspěvku), tak se interval integrace podle x rozpadne x-orou souřadnicí průniku těchto kružnic na dva podintervaly, na každém bude y-ová mez záviset na x jinak, na jednom resp. druhém to bude vycházet z rovnice povrchu válce resp. koule. Když se do toho zamíchá ještě dostatečně malé "e" - poruší se třetí podmínka z mého minulého příspěvku, tak to bude opět znamenat nějaký rozpad oboru integrace podle x a i změnu integrandu v některých podoblastech tohoto oboru, a to na prosté "e".

Hertas · 30. 12. 2015 19:32

Sergejevicz napsal(a):
Myslel jsi v prvním případě mimo střed koule, ne mimo kouli, že jo? :-).

Ne myslím toto: $\sqrt{b^2+c^2} > a$ , což znamená, že je střed válce mimo kouli, jestli se nepletu :) Jen jsem přehlédl, že střed válce měl být v kouli a přesně jsem to otočil.

Sergejevicz napsal(a):
Uvažuješ tedy ten můj první případ? Já měl na mysli, že platí ty moje tři podmínky všechny zároveň. Třeba tvé d < a ještě nestačí k tomu, aby celý průřez válce v úrovni z = 0 byl schován v kouli.

Myslel jsem, že myslíš každou podmínku zvlášť :)

Sergejevicz napsal(a):
Jak jsi přišel na meze pro z?

Jelikož je střed válce mimo kouli, je horní omezení pro $z$ někde na povrchu válce a tato výška je právě $a$ "daleko" od středu koule, kolmý průmět tohoto bodu na rovinu xy má délku od středu koule $\sqrt{b^2+c^2}-d$ a nyní již stačí použít pythagorovu větu.

Sergejevicz napsal(a):
Jaká tělesa jsi dal do rovnosti? Pozor na to, že když se ze zadaných nerovností udělají rovnosti, jde pak o rovnice povrchů těles. Jestli jsi měl na mysli rovnosti povrchů, tedy rovnice, které splňují společné průniky povrchů těles, tak těmi průniky jsou pak třeba celé křivky.

ano, to mi pak došlo, akorát nejsem schopný se dopočítat správného vyjádření povrchu koule

Jinak tvůj postup vypadá mnohem snáz, než o co jsem se tady snažil já :) Díky

Sergejevicz · 30. 12. 2015 20:53

Hertas napsal(a):
...akorát nejsem schopný se dopočítat správného vyjádření povrchu koule

No povrch koule, tj. sféra poloměru "a", se dostane z nerovnice pro kouli přechodem k rovnici. A vyjádření horní polosféry jako funkce x a y jsem psal tady jako funkci f(x,y):

Sergejevicz napsal(a):
↑ Hertas:...tak rovnice horní polosféry (= povrchu horní polokoule, horní chápejme jeko se z > 0) je (vyjádřeno z nerovnice definující kouli osamostatněním "z" nalevo)
$z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ .

$z$ teď chápu jako funkci $x$ a $y$ , označím si ji $f(x,y)$ . Mám tedy
$f(x,y) = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ .
...

Jinak ten můj postup ještě někdy nějak okomentuju :-).

Sergejevicz · 10. 01. 2016 18:44

↑ Sergejevicz:
Doplňuji, že na integrál
$4 \int\limits_{a-d}^{a+d}\int\limits_{0}^{\sqrt{d^2-(x-b)^2}}\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}\mathrm{d}y \mathrm{d}x$
se lze dívat jako na trojnásobný integrál z jedničky, tedy konstantní funkce rovné 1 všude, kter reprezentuje, jak to říct, "kanonickou hustotu" :-).
Ten trojnásobný integrál je (jednička coby integrand se nepíše)
$4 \int\limits_{a-d}^{a+d} $ \int\limits_{0}^{\sqrt{d^2-(x-b)^2}} \( \int\limits_{0}^{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} \mathrm{d}z $ \mathrm{d}y \) \mathrm{d}x$ .
Vskutku, nejvnitřnější integrál vyjde rovný právě své horní mezi, a tím se tak dostaneme do případu, na který reaguju.

Matematické Fórum

#1 26. 12. 2015 16:33

Průnik koule a válce

#2 27. 12. 2015 00:21

Re: Průnik koule a válce

Hertas napsal(a):

Hertas napsal(a):

#3 27. 12. 2015 18:15

Re: Průnik koule a válce

#4 28. 12. 2015 20:47 — Editoval Sergejevicz (28. 12. 2015 20:48)

Re: Průnik koule a válce

#5 29. 12. 2015 21:27 — Editoval Hertas (29. 12. 2015 21:48)

Re: Průnik koule a válce

#6 30. 12. 2015 00:08

Re: Průnik koule a válce

#7 30. 12. 2015 19:32

Re: Průnik koule a válce

Sergejevicz napsal(a):

Sergejevicz napsal(a):

Sergejevicz napsal(a):

Sergejevicz napsal(a):

#8 30. 12. 2015 20:53

Re: Průnik koule a válce

Hertas napsal(a):

Sergejevicz napsal(a):

#9 10. 01. 2016 18:44

Re: Průnik koule a válce

Zápatí