Matematické Fórum

vytautas

zdravím

chcel by som sa spýtať, kde robím chybu.

nech M je množina, $M \subset D(f)$ a $f:A \rightarrow B$ a definujem obraz množiny $f(M):=\{f(x);x \in M\}$

potom mám dokázať, že $f(M_1 \cap M_2) \subset f(M_1) \cap f(M_2)$

dôkaz: $f(M_1 \cap M_2)=\{f(x);x \in (M_1 \cap M_2) \}= \{f(x);x \in M_1 \wedge x \in M_2 \}=\\ \{f(x);x \in M_1\} \cap \{f(x); x \in M_2 \}=f(M_1)\cap f(M_2)$

lenže podľa tvrdenia platí len $\subset$ , nie rovnosť.

kde je chyba ?

ďakujem .

van Thomas · 09. 01. 2016 23:06

Ahoj, proč si myslíš, že platí třetí rovnost ve Tvém "důkazu"? :)

vytautas · 10. 01. 2016 00:10

↑ van Thomas:

Ahoj, neviem nájsť dôvod, prečo by neplatila. Len rozpisujem zápis.

van Thomas · 10. 01. 2016 00:13

Tak si vezmi třeba $M_1=(-\infty,0]$ , $M_2=[0,+\infty)$ a $f(x)=x^2$ a zkus si obě množiny určit.

vytautas · 10. 01. 2016 11:05

↑ van Thomas:

aha, jasné. Ako by sa to teda dokázalo ?

Bati · 10. 01. 2016 11:16

Ahoj ↑ vytautas:
když $X\subset Y$ a $X\subset Z$ , tak zřejmě $X\subset Y\cap Z$ .

van Thomas · 10. 01. 2016 20:18

Ahoj, přesně tak. Jinými slovy, když $y\in f(M_1\cap M_2)$ , pak existuje $x\in M_1\cap M_2$ tak, že $f(x)=y$ . Tudíž zřejmě $y\in f(M_1)$ a zároveň $y\in f(M_2)$ , tj. $y\in f(M_1)\cap f(M_2)$ .