Matematické Fórum

Hansikii

Zdravím, učím se řady a zasekl jsem se na této uloze: Uvažujme řadu $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ , kde $an =\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+5}$ . Rozhodněte o knvergenci řady, udělejte posloupnost postupných součtů a popřípadě součet.

Takže ja bych postupoval takhle: Jako první bych si spočítal tu nutnou podmínku kovnergence $\lim_{n\to\infty }(\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+5})$ , ta mně vyšla nula. Takže ta je splněna.
Dál bych si vypsal prvních 5 členů posloupnosti An: $a1=\frac{1}{12}, a2=\frac{2}{35},a3=\frac{1}{24},a4=\frac{2}{63}$ . Z nich bych si podle mě mohl zjistit, o jaký typ řady se rovná, protože kdyby platil vztah: $a2/a1=q,$ , $a3/a2=q,$ tak by se členy měnili kvuli tomu qocientu, ale v tomto případě tomu tak není, takže se nejdná o geometrickou řadu ?? Nedokažu poznat o jakou řadu se jedná nejspíš.Nevím jak postupovat dál, tak to přeskočím.

Posloupnost postupných součtu Sn:
S1= $\frac{1}{12}$
S2= $\frac{1}{12}+\frac{2}{35}$ = $\frac{59}{420}$
S3= $\frac{1}{12}+\frac{2}{35}+\frac{1}{24}$ = $\frac{51}{280}$
.
.
.
Sn= Tady taky netuším jak ho napsat
A konvergenci si vubec nejsem jisty jak tedy uričit, jestli dopočítat Sn a pak udělat limitu a ta když vyjde realne číslo tak, řada konverguje a ta limita je zároveň součet.

LukasM · 11. 01. 2016 15:29 — Editoval LukasM (11. 01. 2016 15:33)

↑ Hansikii:
Obecně pozor na to "vypíšu si prvních pár členů a uvidím". Mohlo by se ti stát například že řada podle prvních členů bude vypadat jako geometrická, ale ve skutečnosti nebude. Je potřeba na to přijít prozkoumáním toho zadaného předpisu.

V tomhle konkrétním případě ti vypíšu prvních pár členů takhle:
$a_1=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\\ a_2=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\\ a_3=\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\\ a_4=\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\\ a_5=\frac{1}{8}-\frac{1}{10}$
Z toho předpisu je jasné, že to takhle bude pokračovat. A teď se na to podívej a představ si co zbyde, když takové členy budeš sčítat. Pak snadno explicitně vyjádříš jednotlivé členy posloupnosti částečných součtů a budeš moci počítat její limitu. Součet tím spočítáš přímo z definice (což většinou není možné), tak jak píšeš na konci příspěvku.

Dodatek po letmém nakouknutí do vedlejšího vlákna: Jsou i jiné řady než geometrická a aritmetická. Nemusí to být ani jedno z toho.

Hansikii · 11. 01. 2016 16:05

↑ LukasM:
"Z toho předpisu je jasné, že to takhle bude pokračovat. A teď se na to podívej a představ si co zbyde, když takové členy budeš sčítat" Opravdu si neumím představit co zbyde, když budu ty členy sčítat, myslím, že se budu blížit víc a víc k nule ? Nevím jak bych měl tím prozkoumáním toho předpisu přijít na to jestli je řada geomtrická nebo aritmetická. Jak bych měl ten předpis zkoumat prosím

LukasM · 11. 01. 2016 16:22 — Editoval LukasM (11. 01. 2016 16:30)

↑ Hansikii:
Znovu opakuju, není cílem zjistit, zda je řada geometrická nebo aritmetická. Tohle není ani jedna. Cílem je sestavit posloupnost částečných součtů atd. Takže pomaleji:

$a_1=\frac{1}{4}-\color{red}\frac{1}{6}\color{black}\\ a_2=\frac{1}{5}-\color{green}\frac{1}{7}\color{green}\\ a_3=\color{red}\frac{1}{6}\color{black}-\color{blue}\frac{1}{8}\color{black}\\ a_4=\color{green}\frac{1}{7}\color{black}-\color{magenta}\frac{1}{9}\color{black}\\ a_5=\color{blue}\frac{1}{8}\color{black}-\color{cyan}\frac{1}{10}\color{black}\\ a_6=\color{magenta}\frac{1}{9}\color{black}-\frac{1}{11}\\ a_7=\color{cyan}\frac{1}{10}\color{black}-\frac{1}{12}$

Co zbyde když to sečteš? Jak se to změní po přičtení dalšího členu? Co z toho plyne pro posloupnost částečných součtů?

Hansikii

↑ LukasM:

Každý následující Sn bude vyšší než ten předchozí a pořád se to blíží víc a víc k jedničce . A z toho plyne, že poslopnost částečných součtů je 1 ?

LukasM · 11. 01. 2016 16:32

↑ Hansikii:
Podívej se na to pořádně a zkus se zamyslet. Proč jsem tam asi obarvil některé ty členy? Proč se pořád ptám "co tam zbyde" a ne "kolik to vyjde"?

Hansikii · 11. 01. 2016 16:48

↑ LukasM:
Obarvil jste je protože mají stejnou hodnotu, ale ač se snažím sebevíc, nevidím tam s tím žadnou souvislost. Opravdu nevím. Omlouvám se

misaH · 11. 01. 2016 16:53

↑ Hansikii:

Ja tam vidím opačné znamienka - ty nie?

Hansikii · 11. 01. 2016 16:55

↑ misaH:
Ano máte pravdu u zvýrazněných členu jsou opačna znamenka, ale co mně to říká ?

misaH · 11. 01. 2016 16:56

↑ Hansikii:

Že keď ich spočítaš tak vyjde 0.

Hansikii · 11. 01. 2016 17:02

↑ misaH:
A to se vynulje tedy cely součet řady ?

jarrro · 11. 01. 2016 17:32 — Editoval jarrro (11. 01. 2016 17:33)

Vo vseobecnosti ak mas rad tvaru
$\sum_{n=1}^{\infty}{$af{\(n+k$}-bf{$n+l$}\)}$
s kladnymi $a,b$ a celymi $k,l$
tak vies urcit ciastocne sucty posunutim indexov

Matematické Fórum

#1 11. 01. 2016 15:00 — Editoval Hansikii (11. 01. 2016 15:31)

Nekonečná řada - určete Sn, konvergenci, popř. součet

#2 11. 01. 2016 15:29 — Editoval LukasM (11. 01. 2016 15:33)

Re: Nekonečná řada - určete Sn, konvergenci, popř. součet

#3 11. 01. 2016 16:05

Re: Nekonečná řada - určete Sn, konvergenci, popř. součet

#4 11. 01. 2016 16:22 — Editoval LukasM (11. 01. 2016 16:30)

Re: Nekonečná řada - určete Sn, konvergenci, popř. součet

#5 11. 01. 2016 16:30 — Editoval Hansikii (11. 01. 2016 16:31)

Re: Nekonečná řada - určete Sn, konvergenci, popř. součet

#6 11. 01. 2016 16:32

Re: Nekonečná řada - určete Sn, konvergenci, popř. součet

#7 11. 01. 2016 16:48

Re: Nekonečná řada - určete Sn, konvergenci, popř. součet

#8 11. 01. 2016 16:53

Re: Nekonečná řada - určete Sn, konvergenci, popř. součet

#9 11. 01. 2016 16:55

Re: Nekonečná řada - určete Sn, konvergenci, popř. součet

#10 11. 01. 2016 16:56

Re: Nekonečná řada - určete Sn, konvergenci, popř. součet

#11 11. 01. 2016 17:02

Re: Nekonečná řada - určete Sn, konvergenci, popř. součet

#12 11. 01. 2016 17:32 — Editoval jarrro (11. 01. 2016 17:33)

Re: Nekonečná řada - určete Sn, konvergenci, popř. součet

Zápatí