Matematické Fórum

Hansikii · 11. 01. 2016 03:23

Zdravím, chtěl bych se zeptat na pár věcí ohledně nekonečných číselných řad

Geometrická řada
1) Rozhodněte. zda je řada konvergentní - Stačí pouze, když určím q a podle toho jestli je větší/menší nule určím konvergenci řady ? Nebo musím počítat posloupnost postupných součtů Sn a pak počítat součet řady jako limitu Sn a z toho určit konvergenci/divergenci ? Jde mi o to co napsat do testu, až tam tohle dostanu.

Aritmetická řada
1)Rozhodněte. zda je řada konvergentní - U aritmetických řad, tam musím k určení konvergence řady určitě dělat posloupnost postupných součtů a pak limitu Sn a tím dostanu součet a pokud vyjde realne číslo tak řada konveguje, pokud vyjde $\infty$ , tak diverguje.

Dočetl jsem se, že take existuje nutna podminka konvergence řady kdy $\lim_{n\to\infty }an=0$ . Jenže mně není jasné jak bych měl správně tedy postupovat. Jestli nejdříve jako první si u každé řady určit tu nutnou podmínku konvergence a potom až používat ty metody, ktere jsem psal výšše ? A z čeho tu nutnou podmínku počítat, jestli z předpisu té řady, nebo odkuď. Prosím o nějaké vysvětlení v kostce jak správne určit konvergenci/divergenci řady. Nebo klidně nějaké dobrý odkaz na materialy, ale řekl bych, že většinu už jsem jich vygooglil. Předem děkuji moc

Bati · 11. 01. 2016 10:12

Čau,
aritmetická a geometrická řada jsou nejjednodušší typy řad, se kterými se můžeš setkat. Taky je okamžitě vidět, jak je to s jejich konvergencí, protože známe explicitní vzorce pro jejich částečné součty. Aritmetická nemůže konvergovat nikdy (kromě triviálního případu $a_0=0$ , $d=0$ ) a geometrická konverguje právě když $-1<q<1$ - srovnej s tím, co jsi napsal. Nemusíš tedy pořád znovuodvozovat jejich částečné součty.

Většina řad není tak jednoduchá. To, co popisuješ s tou limitou částečných součtů je ve skutečnosti to, jak se nekonečná řada definuje, tj. $\sum_{k=k_0}^{\infty}a_k:=\lim_{N\to\infty}\sum_{k=k_0}^Na_k$ , pokud ta limita existuje. Určovat konvergenci řady z této definice je zpravidla nemožné, protože se ti nepovede vyjádřit částečné součty výrazem bez sumy. Proto používáme kritéria konvergence řad, o kterých jsi se asi dočetl.

Nutná podmínka konvergence je to nejprimitivnější kritérium, a oproti ostatním kritériím funguje obráceně: říká ti, kdy ta řada určitě konvergovat nemůže, tj. když limita jejích členů je nenulová. Ostatní kritéria většinou říkají, za jakých podmínek ta řada určitě konverguje. Je dobrý si tenhle rozdíl rozmyslet, spousta lidí tuhle základní věc nechápe.

Rumburak · 11. 01. 2016 14:07

↑ Hansikii:

Zdravím vás, pánové.

Tvrzení

...: říká ti, kdy ta řada určitě konvergovat nemůže, tj. když limita jejích členů je nenulová.

kolegy ↑ Bati: bych upřesnil:

... když limita jejích členů buďto je nenulová nebo když neexistuje.

Hansikii · 11. 01. 2016 14:57

↑ Bati:
Ohledně těch aritmetických řad jsem to pochopil dobře, avšak mám problém vlastně poznat, jakou tu řadu vlastně počítám, jaký druh (aritmetickou,geoemtrickou, alternujici). Jakym zpusobem se to dá bezpečně poznat ? napadlo mě si vypsat par prvnich členu a pak zkoumat vztah mezi následujícím a tím předešlým, jestli se mění o to D, nebo o Q. Ale opravdu nevím jak nato.

Bati · 11. 01. 2016 15:16

Hansikii napsal(a):
zkoumat vztah mezi následujícím a tím předešlým, jestli se mění o to D, nebo o Q.

Přesně tak. Spočítáš si $a_{k+1}-a_k$ , nebo $\frac{a_{k+1}}{a_k}$ .

Hansikii · 11. 01. 2016 15:30

↑ Bati: Super, alespon v tom jsem se nemýlil... avšak, teď jsem narazil na řadu $\sum_{n=n_0}^{\infty}a_n=(\frac{1}{n(n+1)})$ . Vypsal jsem si několi prvních členů, $a1=\frac{1}{2},a2=\frac{1}{6},a3=\frac{1}{12},a4=\frac{1}{20}$ . Pomocí toho vztahu co jsi napsal výšše: $\frac{a_{k+1}}{a_k}$ nebo $a_{k+1}-a_k$ Teď chci zjistit o jaký ten druh řady se jedná. Tak vztah pro q mi nesedí, takže si chci ověřit vztah pro d a ten mně taky nesedí, pokaždé mi vychazí jina diference, takže co s tím ? Nebo kde dělám chybu ?

Bati · 11. 01. 2016 15:36 — Editoval Bati (11. 01. 2016 15:43)

No, když žádné takové q nebo d neexistuje, tak to nemůže být aritmetická ani geometrická řada.

Pokud by to byla jedna z nich, tak je to většinou vidět na první pohled. Jakmile tam v předpisu máš něco jako $\frac1n$ , nebo dokonce nějaká funkce od n, třeba $\sin(n)$ , tak není šance.

Nebo se to dá říct taky tak, že je geometrická, právě když jde upravit do tvaru $q_0\sum_n q^n$ , kde $q$ nezávisí na $n$ . S aritmetickou nekonečnou řadou se nesetkáš, protože jsou všechny divergentní, nebo 0.

Hansikii · 11. 01. 2016 15:58

↑ Bati:
Aha hm, takže je dost veliká šance, že i do testu dostanu řadu, která není aritmetická ani geometrická. Takže pak budu muset konvergenci této řady určovat buďto pomocí kritéríí nebo pomocí té limity Sn. Většinou v testu nám zadavají, že máme napsat posloupnost postupných součtu a rozhodnout o konvergenci řady, takže se možnáí vyplatí prvně vyzkoušet zjistit tu konvergenci z té definice ? že ta lim SN je nejake realne čislo ? Nebo je lepší použít rovnou ty kriteria pomocí kterých zjistím zda-li řada konverguje ? V jakém pořadí bych to měl používat prosím

Rumburak

↑ Hansikii:

Ahoj.

Pokud máš na mysli ředu $\sum_{n=n_0}^{\infty}a_n$ , kde $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$ , pak tato řada není aritmetická
ani geometrická. Pokud jde o její konvergenci:
Všechny její členy jsou nezáporné, takže posloupnost jejích částečných součtů je neklesající a tedy
má nějakou nezápornou limitu - obecně konečnou nebo nekonečnou.

Navíc každý její člen splňuje podmínku $a_n \le \frac{1}{n^2}$ , takže platí také
(1) $0 \le \sum_{n=n_0}^{\infty}a_n \le \sum_{n=n_0}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ .
Tomuto vztahu se říká srovnání naší řady s řadou vpravo, která se pak nazývá majorantní řadou
k řadě první. O řadě $\sum_{n=n_0}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ se dá dokázat, že konverguje (nejsnáze asi pomocí integrálního
kriteria), proto z (1) a z toho, co bylo řečeno o první řadě , plyne, že konverguje i ta.

Zkoumání řady a jejích částečných součtů "od oka" nikam nepovede. Je potřeba opírat se o konkretní
znalosti (konvergenční kriteria , případně řady, jejichž konvergenci resp. divergenci můžeme považovat
za známý fakt.)
Vycházet pouze z definice limity (pro posloupnost částečných součtů) zpravidle také nevede k cíli.

Bati · 11. 01. 2016 16:12 — Editoval Bati (11. 01. 2016 16:17)

↑ Hansikii:
Podle definice, tj. část. součtů to jde jen v hodně jednoduchých případech, o tom už jsem psal. Když třeba dostaneš $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{n}}{n^2}$ , nebo jen $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^3}$ , které jsou konvergentní, s částečnými součty si neškrtneš.

Já nevím, co vám dávají do testů, ale my když jsme ve škole dělali řady, tak jsem se nikdy nesetkal s tím, že by něco šlo přímo sečíst, většinou ani nebyla jasná konvergence. Ta se zjišťovala těmi kritérii. Přesný součet se pak dal ve šťastných případech spočítat nějakým trikem přes Fourierovy řady nebo pomocí residuové věty z komplexky.

Hansikii · 11. 01. 2016 16:23

↑ Rumburak:
To co tady popisujete je určení konvergence řady pomocí srovnávacího kriteria ? Šlo by využít jeho limitni verze že bych si spočítal limitu $\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{1}{n^{2}}}{ \frac{1}{n(n+1)}}$ a pokud ta limita vyjde větší než nula, pak knverguje $\sum_{n=n_0}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ a tím pádem i $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$ . Je to tak ?

Hansikii · 11. 01. 2016 16:24

↑ Bati:
Takže nejsnazší a nejspolehlivější cesta se bude naučit ty kriteria konvergence řad :)

Bati · 12. 01. 2016 00:45

↑ Hansikii:
Ono se je nemusíš tak moc učit. Když pominu např. Raabeho a Gaussovo kritérium, tak ty kritéria stačí pochopit, protože jsou intuitivní a snadno dokazatelné, tudíž i snadno zapamatovatelné.

Rumburak

↑ Hansikii:

Ano, jde o srovnávací kriterium.

Ale ta druhá úvaha není správná. Limitní srovnávací kriterium pro řady

(1) $\sum_{n = n_0}^{\infty} a_n$ ,

(2) $\sum_{n = n_0}^{\infty} b_n$

s kladnými členy $a_n, b_n$ říká toto:

Nechť existuje $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = L$ . Potom platí:

1. Jestliže $L = 0$ a řada (2) konverguje, potom konverguje i řada (1) .

2. Jestliže $L = +\infty$ a řada (1) konverguje, potom konverguje i řada (2) .

3. V ostatních případech (když $L$ je konečné kladné číslo) buďto obě řady konvergují nebo obě divergují,
tj. konvergence řad (1), (2) jsou spolu ekvivalentní.

Například z bodu 3. tohoto kriteria plyne: jeslliže z řad

(3) $\sum_{n = n_0}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ ,
(4) $\sum_{n = n_0}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$

konverguje aspoň jedna, potom nutně konverguje i ta zbývající. Ale dokud nevíme, zda některá z nich
konverguje, srovnávací kriterium (ať již limitní či nelimitní) nám nepomůže.

Jak už jsem se zmíníl včera, konvergenci řady (3) lze dokázat pomocí integrálního kriteria. Pomocí srovnávacího
kriteria (ať již limitního či nelimitního) pak můžeme dokázat konvergenci řady (4).

Řada (4) ovšem patří k těm, které se dají snadno sečíst. Je totiž $\frac{1}{n(n+1)}= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ , takže
pro přirozené číslo $k > n_0$ dostáváme

$\sum_{n = n_0}^{k} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n = n_0}^{k}$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ = \frac{1}{n_0} - \frac{1}{k+1}$ ,

z toho limita pro $k \to +\infty$ (tedy součet řady (4)) je $\frac{1}{n_0}$ .

Použitím srovnávacího kriteria pak máme dokázánu i konvergenci řady (3) , aniž bychom k tomu potřebovali
integrální kriterium.