Matematické Fórum

Tanner · 12. 01. 2016 16:26

Zdravím,
Nějak se mi nedaří dokázat podle matematické indukce, že platí

$2+2*2+3*2^{3}+....n*2^{n}=(n-1)2n^{n+1} + 2$

Jestl tedy platí ?

misaH · 12. 01. 2016 16:36

↑ Tanner:

No - tá pravá strana je nejaká divná.

Skús dosadiť n=2. Možno zle dosádzam, ale mne teda rovnosť nevyšla.

Tebe áno?

Al1 · 12. 01. 2016 16:50

↑ Tanner:

Zdravím,

pravá strana by měla být

$2^{n+1}\cdot (n-1)+2$ a pak lze indukcí dokázat, že vztah platí

Tanner · 12. 01. 2016 17:00

No, pokud dosadím pro n=1 tak rovnost vyjde. Ale i po úpravě se nemůžu dopracovat k výsledku nijak.

Al1 · 12. 01. 2016 17:13

↑ Tanner:

$n=k$

$2+2*2+3*2^{3}+....k*2^{k}=(k-1)2^{k+1} + 2$

$n=k+1$

$2+2\cdot 2+3\cdot 2^{3}+....k\cdot2^{k}+(k+1)\cdot 2^{k+1}=(k+1-1)2^{k+1+1} + 2\nl (k-1)2^{k+1} + 2+(k+1)\cdot 2^{k+1}=k\cdot2^{k+2} + 2$ to chceme dokázat

$L=2^{k+1}(k-1+k+1)+2=2^{k+1}\cdot 2\cdot k+2=2^{k+2}\cdotk+2$

Tanner · 12. 01. 2016 18:38

Nějak se neorientuju ve tvým popisku, pokud vím, tak indukce funguje na principu přidání pravé strany rovnice s n členama + prvky z levé strany s n+1 prvkama, a prvky napravo budou s n+1 prvky.. ?

A pokud to takhle vesměs použiju, tak mi na levé straně zůstane

$-2^{n+1}+n*2n+2^{n}$

Mám tušení. Každopádně mi to nějak nevychází.

Al1 · 12. 01. 2016 18:56

↑ Tanner:

Tak tedy přeznačím

$n=1$ - platí

Označme

$L(n)=2+2\cdot 2+3\cdot 2^{3}+....+n\cdot2^{n}\nl P(n)=(n-1)2^{n+1} + 2$

Předpoklad, že vztah platí pro n, dokazujeme, že platí pro (n+1)

$L(n+1)=2+2\cdot 2+3\cdot 2^{3}+....+n\cdot2^{n}+(n+1)\cdot 2^{n+1}=\nl =(n-1)2^{n+1} + 2+(n+1)2^{n+1}=2^{n+1}(n-1+n+1)+2=2^{n+1}(2n)+2=n\cdot 2^{n+2}+2$

$P(n+1)=(n+1-1)\cdot 2^{n+1+1}+2=n\cdot 2^{n+2}+2$

$L(n+1)=P(n+1)$