Matematické Fórum

Reido · 12. 01. 2016 21:24

Dobrý den :) Nejak nemuzu prijit na to,jak se spravne derivuje vyraz y= x ^(1/x)...napsal by mi prosím někdo postup? Na wolframu to sice hodí výsledek,ale na papíře jsem se k němu nedopracoval:-/
Díky za odpověď

Al1 · 12. 01. 2016 21:34

↑ Reido:

Zdravím,

při derivaci užiješ úpravu

$x^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}\ln (x)}$

Tedy derivuješ funkci

$y=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}\ln (x)}$ jako funkci složenu

Reido · 12. 01. 2016 21:59

Dekuji,ale potreboval bych to rozepsat krok po kroku az k vysledku,protoze o tehle uprave slysim poprve...:/
diky moc !

Al1 · 12. 01. 2016 22:09

↑ Reido:

A derivovat složenou funkci umíš?

Můžeš třeba položit vnitřní funkci

$u=\frac{1}{x}\cdot \ln (x)$ a vnější funkci si označit jako $y=\mathrm{e}^{u}$

Derivace vnitřní fce bude derivací součinu $u^{\prime}=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}\cdot \ln (x)+\frac{1}{x}\cdot (\ln (x))^{\prime}$

a derivace vnější funkce je $y^{\prime}=(\mathrm{e}^{u})^{\prime}=\mathrm{e}^{u}$

A to ještě upravíme na $y^{\prime}=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}\ln (x)}=x^{\frac{1}{x}}$

A derivace složené fce je součin derivace vnitřní a vnější funkce, spočítáš a upravíš $u^{\prime}\cdot y^{\prime}$

Reido · 13. 01. 2016 14:10

diiiky :) to uz pomohlo leepe :-)

Honzc · 14. 01. 2016 06:38

↑ Reido:
Když jsem ještě chodil do školy, tak jsme takové úlohy řešili takto: (už nevím jak jsme to nazývali)
$y=x^{\frac{1}{x}}$ -"zlogaritmujeme"
$\ln y=\frac{1}{x}\ln x$ -zderivujeme obě strany
$\frac{1}{y}y'=-\frac{1}{x^{2}}\ln x+\frac{1}{x}\frac{1}{x}=\frac{1}{x^{2}}(1-\ln x)$
Pak
$y'=y\frac{1}{x^{2}}(1-\ln x)=\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}(1-\ln x)$
Jednoduché a elegantní

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2016 21:24

Lehka derivace - postup

#2 12. 01. 2016 21:34

Re: Lehka derivace - postup

#3 12. 01. 2016 21:59

Re: Lehka derivace - postup

#4 12. 01. 2016 22:09

Re: Lehka derivace - postup

#5 13. 01. 2016 14:10

Re: Lehka derivace - postup

#6 14. 01. 2016 06:38

Re: Lehka derivace - postup

Zápatí