Matematické Fórum

emsinko · 12. 01. 2016 22:01

Zdravim , potreboval by som poradit.

Ako sa riesi sucet rady typu : $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{5^n}$

Vdaka za akekolvek info

van Thomas · 12. 01. 2016 22:26

Ahoj, trik:
$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{5^n}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=k}^\infty\frac1{5^n}$
:)

emsinko

A to mam vyriesit zvlast prvy sucet ze : a1/(1-q) -> $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\frac{1}{5^{k}}}{1-\frac{1}{5}}= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{5}{4}*\frac{1}{5^{k}}=\frac{5}{4}*\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{5}{16}$ Hmm sedi vysledok ale netusim ako vznikol ten trik :D Vies mi to objasnit? Ako sa tam zmenila ta hranica z 0 na 1 zrazu? Ako by to bolo keby hore bolo n^2 ?

Pavel · 12. 01. 2016 23:24 — Editoval Pavel (12. 01. 2016 23:25)

↑ emsinko:

Protože je první člen v řadě nulový, stačí řadu sčítat až od n=1. Označ si

$S:=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^n}$

Pak zřejmě

$S-\frac 15 =\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{5^n} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{5^{n+1}} =\frac 15\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{5^n} =\frac 15\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^n}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^n}\right)$

Zbytek dopočítáš jistě sám.

van Thomas · 12. 01. 2016 23:24

Nevíš, jak jsem na ten trik přišel, nebo proč ta rovnost vůbec platí? :) n může jít klidně od 1, protože 0-tý člen je 0 ;-) Kdyby bylo nahoře n^2, šel by trik udělat podobně:
$\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2}{5^n}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=k}^\infty\frac{2k-1}{5^n}$
Pak lze postupovat obdobně (využít toho výsledku, co už máš).

emsinko · 13. 01. 2016 14:00

Dakujem pekne :) Hej jasne nevsimol som si ze ak n=0 tak je to 0 .
Pavelov trik rozumiem ale Thomasov stale nie :D Preco prave 2k-1 tam je ? Co by bolo kebyze tam je n^3 resp. vseobecne . Ale dakujem za radu pomohli ste

Pavel · 13. 01. 2016 15:49

↑ emsinko:

Stačí si uvědomit, že

$\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=k}^\infty\frac{2k-1}{5^n} =\sum_{k=1}^\infty(2k-1)\sum_{n=k}^\infty\frac{1}{5^n} =\sum_{k=1}^\infty\left(k^2-(k-1)^2\right)\sum_{n=k}^\infty\frac{1}{5^n}=\dots$

a trochu si pohrát se sumami

Nebo stačí vzít součet členů aritmetické posloupnosti

$\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2.$

Pak

$\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2}{5^n} =\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^n\frac{2k-1}{5^n} =\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=n}^{\infty}\frac{2k-1}{5^n}\,,$

přičemž poslední krok spočívá v jednoduché transformací indexů n a k.

První postup ukazuje, jak vytvořit čitatel $2k-1$ . Pro vyšší mocniny se postupuje obdobně:

$\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2}{5^n}&=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=k}^\infty\frac{k^2-(k-1)^2}{5^n}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=k}^\infty\frac{2k-1}{5^n}\\ \sum_{n=1}^\infty\frac{n^3}{5^n}&=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=k}^\infty\frac{k^3-(k-1)^3}{5^n}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=k}^\infty\frac{3k^2-3k+1}{5^n}\\ \sum_{n=1}^\infty\frac{n^4}{5^n}&=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=k}^\infty\frac{k^4-(k-1)^4}{5^n}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=k}^\infty\frac{4k^3-6k^2+4k-1}{5^n}$

apod.

van Thomas · 13. 01. 2016 18:01

Tak Pavel už mě předběhl :), ale ještě bych zkusil napsat to samé trochu jinak. Celý trik si můžeš představovat jako diskrétní Fubiniho větu, tj.
$\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty a_{n,k}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty a_{n,k}$ ,
což pro $a_{n,k}\geq0$ vždy platí. Tu první zmíněnou rovnost
$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{5^n}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=k}^\infty\frac1{5^n}$
dostaneš, zvolíš-li $a_{n,k}=\frac1{5^n}$ pro $n\geq k$ , jinak 0.
Potom
$\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty a_{n,k}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^n\frac1{5^n}=\sum_{n=1}^\infty\frac n{5^n}$
a
$\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty a_{n,k}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=k}^\infty\frac1{5^n}$ .
Je to teď jasnější? ;-)