Matematické Fórum

5tudentka · 13. 01. 2016 21:37

Dobrý den, řeším takovýhle příklad, ale vůbec nevím, co s tím. Neměl by někdo nějakou radu, jak bych měla začít?

$\lim_{x\to\infty}x\left(\frac{\pi}{4}-\arctan{\frac{x}{x+1}}\right)$

byk7 · 13. 01. 2016 21:55

$x\left(\frac{\pi}{4}-\arctan{\frac{x}{x+1}}\right)=\frac{\frac{\pi}{4}-\arctan{\frac{x}{x+1}}}{\frac{1}{x}}$ a L'Hospital

Freedy · 13. 01. 2016 21:55

↑ byk7:
bez L'Hospitala!!!

byk7 · 13. 01. 2016 21:58

↑ Freedy:

Co ti brání? :-) Klidně se realizuj...

5tudentka · 13. 01. 2016 22:42

↑ byk7: Díky moc, nechápu, jak mě to nenapadlo. :D

van Thomas

Pokud někomu vadí l'Hospital, samozřejmě stačí použít součtové vzorce. Označíme-li $y=\frac\pi4-\arctan\frac x{x+1}$ , dostaneme:
$\lim_{x\to\infty}x\left(\frac{\pi}{4}-\arctan{\frac{x}{x+1}}\right)=\lim_{y\to0}\frac{\tan(\frac\pi4-y)}{1-\tan(\frac\pi4-y)}\cdot y$
$=\lim_{y\to0}\frac{\frac{\tan\frac\pi4-\tan y}{1+\tan\frac\pi4\tan y}}{1-\frac{\tan\frac\pi4-\tan y}{1+\tan\frac\pi4\tan y}}\cdot y=\lim_{y\to0}\frac{1-\tan y}{2\tan y}\cdot y$
$=\lim_{y\to0}\left(\frac{\cos y}{2\frac{\sin y}y}-\frac y2\right)=\frac12$ .

Matematické Fórum

#1 13. 01. 2016 21:37

Výpočet limity s arctan?

#2 13. 01. 2016 21:55

Re: Výpočet limity s arctan?

#3 13. 01. 2016 21:55

Re: Výpočet limity s arctan?

#4 13. 01. 2016 21:58

Re: Výpočet limity s arctan?

#5 13. 01. 2016 22:42

Re: Výpočet limity s arctan?

#6 14. 01. 2016 13:43 — Editoval van Thomas (14. 01. 2016 13:50)

Re: Výpočet limity s arctan?

Zápatí