Matematické Fórum

Freedy · 12. 01. 2016 20:35 — Editoval Freedy (12. 01. 2016 20:35)

Ahoj,

měl bych dvě otázky, které mi nejsou jasné ohledně mohutností množin.

Když mám větu
$X\preceq P(X)$ (kde P(X) je potenční množina X)

proč nelze větu dokázat tak, že ukážu, že existuje prosté zobrazení, které není na?
Například položím:
$f:X\longrightarrow P(X)$
$f(x)=\{x\}$
Každý prvek $x\in X$ tedy zobrazím na $\{x\}$ .
Žádné 2 prvky se tedy nezobrazí na stejný prvek - všechny prvky z X jsem použil.
Nicméně stále $\exists \emptyset \in P(X)$ tak, že tato množina nemá vzor.

Omlouvám se, jestli je to naprostá blbost, ale já zkrátka nechápu, proč toto nelze považovat za důkaz.

Další věc, která mi není jasná je to, proč, když existuje prosté zobrazení z A do B a zároveň existuje prosté zobrazení z B do A, pak tato zobrazení jsou zároveň na (intuitivně), se nepovažuje za důkaz Cantor-Bernsteinovy věty.

Díky,
Freedy

Wotton · 12. 01. 2016 21:23

↑ Freedy:

k tomu prvnímu je problém v tom, že ta nerovnost která se tam správně dokazuje má být ostrá $X\prec P(X)$ . Tvým postupem dokážeš samozřejmě platnost neostré nerovnosti, ale pro ostrou to nestačí. Tam musíš dokázat, že neexistuje žádné prosté zobrazení NA. (příklad je množina přirozených a celých čísel, kde jako zobrazení použijješ identitu (je prostná, není NA, ale přesto mají stejnou mohutnost)).

U druhého problému ti (asi) vypadli nějaký slova, a takhle mi to nedává smysl. Ani nedokážu poznat na co jsi je chtěl zeptat.

vanok · 13. 01. 2016 20:28

Pozdravujem.
Poznamka.
V konecnom pripade tvoj dokaz ti umozni dokazat zaujimave veci.
Ale co myslis, ako by to funguvalo pre nekonecne nekonecne mnoziny?

Freedy · 13. 01. 2016 20:48

Ano, ta první věta se dokazuje tak, že předpokládáme, že existuje $f:X\longrightarrow P(X)$ , které je na.
Potom tedy ke každému $Q\in P(X)$ $\exists x\in X$ tak, že platí $f(x)=Q$ .
Uvažme množinu $M:=\{x\in X,x\not \in f(x)\}$
Tato množina je jistě prvkem P(X) protože se jedná podmnožinu X.
Musí tedy existovat $y\in X$ tak, že platí $f(y)=M$
Nyní může nastat jedna z následujících dvou situací:
1) $y\in M$ tedy je $y\not \in f(y)$ ale $M=f(y)$ čili $y\in f(y)$ spor
2) $y\not \in M$ tedy podle definice $y\in f(y)$ čili $y\in M$ spor.

↑ Wotton:
k té dvojce.
Hledal jsem způsob, jak nějak elegantněji dokázat Cantor-Bernsteinovu větu. Jak zkrátka ukázat, že pokud existuje prosté $f:A\longrightarrow B$ a prosté $g:B\longrightarrow A$ pak f, g jsou zároveň na.

↑ vanok:
tam je právě že problém s tou intuitivní představou no. Prostě vezmu dve prosté zobrazení