Matematické Fórum

slender · 14. 01. 2016 00:00

Zdravím,
řeším úlohu na vyšetřování průběhu následující funkce:

$f(x)=\arcsin{\frac{2x}{x^2+1}}$

Zajímá mě monotonie, funkci jsem tedy zderivoval a vyšlo mi něco takového:

$\left(\arcsin{\frac{2x}{x^2+1}}\right)' =\frac{2\left(\frac{x}{x^2+1}\right)'}{\sqrt{1-\frac{4x^2}{\left(x^2+1\right)^2}}} =\frac{-x\left((x^2)'+(1)'\right)+(x^2+1)(x)'}{\left(x^2+1\right)^2\sqrt{1-\frac{4x^2}{\left(x^2+1\right)^2}}} =-\frac{1}{x^2+1}$

Což nikdy nemůže vyjít kladně, ale třeba podle Wolframu by měla být sice v $(-\infty,-1)$ a $(1,+\infty)$ klesající ale v $(-1,1)$ naopak stoupající.

Nevíte, kde jsem mohl udělat chybu?

Sergejevicz · 14. 01. 2016 00:22

Jednak se někam vytratila dvojka násobící čitatel, ale hlavně ve jmenovateli pozor na odmocňování druhé mocniny - je tam problém s absolutní hodnotou :-).

lucash · 14. 01. 2016 00:35

[re]p501915|slender[/re
me vychazi v konecnem vysledku jiny jmenovatel a to $(X+1)^{2}$ ktery by odpovidalo wolframu..

Sergejevicz · 14. 01. 2016 09:24

Mně tedy vychází přesně to, co vyšlo WolframAlphě v alternativním vyjádření, totiž $-\frac{2\mathrm{sgn}(x^2-1)}{x^2 + 1}$ .

Mimochodem, zadaná funkce je definována na celém $\mathbb{R}$ - porovnání argumentu přes neostrou nerovnost s 1 resp. -1 vede na porovnání druhé mocniny lineárního dvojčlenu s nulou a to bude splněno vždy.

Můj postup:
$$\arcsin\(\frac{2x}{x^2+1}$\)'=\\ =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{4x^2}{(x^2+1)^2}}} \frac{2(x'(x^2 + 1)-x(x^2 + 1)')}{(x^2 + 1)^2}=\\ =\frac{1}{\frac{\sqrt{(x^2+1)^2-4x^2}}{\sqrt{(x^2+1)^2}}} \frac{2(x^2 + 1-x(2x))}{(x^2 + 1)^2}=$
Druhá odmocnina ve jmenovateli jmenovatele pvního zlomku se zruší s druhou mocninou bez uplatnění absolutní hodnoty, protože $x^2+1$ je vždy kladné.
$=\frac{1}{\frac{\sqrt{x^4+2x^2+1-4x^2}}{x^2+1}} \frac{2(x^2 + 1-x(2x))}{(x^2 + 1)^2}=\\ =\frac{1}{\sqrt{x^4-2x^2+1}} \frac{2(1-x^2)}{(x^2 + 1)}=\\ =-\frac{1}{\sqrt{(x^2-1)^2}} \frac{2(x^2-1)}{x^2 + 1}=$
Teď už absolutní hodnotu budu muset pro zrušení odmocniny s mocninou ve jmenovateli prvního zlomku použít, protože $x^2-1$ je na $(-1,1)$ záporné.
Taky je teď vidět, že v x = 1 a x = -1 nebude derivace definována.
$=-\frac{1}{|x^2-1|} \frac{2(x^2-1)}{x^2 + 1}=-\frac{2\frac{x^2-1}{|x^2-1|}}{x^2 + 1}= -\frac{2\mathrm{sgn}(x^2-1)}{x^2 + 1}, x \in\mathbb{R}\backslash\{-1,1\}$

Nerozumím tomu, jak kolega ↑ lucash: přišel na svůj jmenovatel. :-)

Taky je užitečné všimnout si lichosti zadané funkce, takže stačí vyšetřovat průběh jen na kladné reálné poloose, na zápornou se pak průběh rozšíří liše.