Matematické Fórum

Vanitas · 14. 01. 2016 01:19

Dobrý večer,
mám určit limitu funkce $\lim_{x\to 0 } \frac{cos(e^{x}x)-cos(xe^{-x})}{x^{3}}$
$\lim_{x\to 0 } \frac{cos(e^{x}x)-cos(xe^{-x})}{x^{3}}=\lim_{x\to 0 } \frac{1-cos(e^{-x}x)-(1-cos(xe^{x}))}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}(\frac{1-cos(e^{-x}x)}{e^{-2x}x^{2}}\frac{e^{-2x}x^{2}}{x}-\frac{1-cos(e^{x}x)}{e^{2x}x^{2}}\frac{e^{2x}x^{2}}{x})$
tak a teď jsem se zasekl. Samozřejmě jsem pokrátil x, $\frac{e^{2x}}{x}=\frac{e^{2x}-1+1}{-2x}(-2)$ což hraje na použití věty o limitě složené funkce, ale vadím tam ta +1. Možná mé řešení není správné.
Prosím o radu.

Stýv · 14. 01. 2016 07:50

smíš použít taylorův rozvoj? pokud ano, tak to bude asi nejjednodušší postup. tím rozdělením na rozdíl dvou zlomků podle mě nikam nedojdeš, protože ani jedne nebude mít limitu

Vanitas · 14. 01. 2016 08:06

no spíš nesmím a nesmím použít ani L´Hospitala...

Pavel · 14. 01. 2016 10:17

↑ Vanitas:

Užitím identity

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1.$

dostaneme

$\lim_{x\to 0 } \frac{\cos(\mathrm e^{x}x)-\cos(x\mathrm e^{-x})}{x^{3}} &=\lim_{x\to 0 } \frac{-2\sin\left(\frac{\mathrm e^{x}x+x\mathrm e^{-x}}2\right)\sin\left(\frac{\mathrm e^{x}x-x\mathrm e^{-x}}2\right)}{x^{3}}\\[.5\baselineskip] &=-2\lim_{x\to 0 } \frac{\sin\left(\frac{\mathrm e^{x}x+x\mathrm e^{-x}}2\right)}{\frac{\mathrm e^{x}x+x\mathrm e^{-x}}2}\cdot\lim_{x\to 0 } \frac{\sin\left(\frac{\mathrm e^{x}x-x\mathrm e^{-x}}2\right)}{\frac{\mathrm e^{x}x-x\mathrm e^{-x}}2}\cdot\lim_{x\to 0 } \frac{\frac{\mathrm e^{x}x+x\mathrm e^{-x}}2\cdot\frac{\mathrm e^{x}x-x\mathrm e^{-x}}2}{x^{3}}\\[.5\baselineskip] &=-1\cdot 1\cdot\lim_{x\to 0 }\frac{\left(\mathrm e^{x}+\mathrm e^{-x}\right)\left(\mathrm e^{x}-\mathrm e^{-x}\right)}{x^2}=\dots$

Zbytek už je snadný. Stačí použít identitu

$\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm e^x-1}x=1$

Vanitas · 14. 01. 2016 23:12

Tak ta první úprava je hodně pěkná, na to bych asi nepřišel.
Děkuji, teď už je to jasné

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2016 01:19

Limita funkce

#2 14. 01. 2016 07:50

Re: Limita funkce

#3 14. 01. 2016 08:06

Re: Limita funkce

#4 14. 01. 2016 10:17

Re: Limita funkce

#5 14. 01. 2016 23:12

Re: Limita funkce

Zápatí