Matematické Fórum

Martin123 · 14. 01. 2016 11:20

Ahojte, mam takuto ulohu. Losujeme loto. (6 guliek zo 49 oznacene cislami od 1 po 49) Aka je pravdepodobnost, ze medzi 6 vylosovanymi nebudu tri po sebe iduce gulky?

Jj · 14. 01. 2016 16:22

↑ Martin123:

Dobrý den.

Řekl bych, že bude asi jednodušší spočítat pravděpodobnost, že v tahu budou tři po soubě jdoucí gulky a tu odečíst od jedné.

Martin123 · 14. 01. 2016 16:33

Takze cez opacnu udalost. Ale podla akeho vzorceka alebo akeho postupu sa to robi? Nic ma nenapada.

Jj · 14. 01. 2016 17:58

Martin123 napsal(a):
Nic ma nenapada.

Musím přiznat, že jsem teď na tom stejně. Možná posléze :), nebo někdo jiný.

van Thomas

Ahoj, nemáš správný výsledek? Není to $\frac{13316842}{13983816}\doteq0,\!952304$ ? :)

Martin123 · 14. 01. 2016 21:29

spravny vysledok nemam, ako ste prisli na tento vysledok?

van Thomas · 14. 01. 2016 22:28

Není to moc elegantní, ale postupoval jsem takto:

1) Počet možností, kdy je čísel po sobě jdoucích 6, je evidentně $a_6=44$ .

2) Vypočítám počet možností, kdy po sobě jdoucích čísel je právě 5 ( $a_5$ ). Máme tedy čísla k až k+4, což je 45 možností. K tomu šesté číslo ze 44, takže $45\cdot44$ . Pokud je jich ale ve skutečnosti po sobě jdoucích 6, máme tam tuto možnost dvakrát (např. pokud je losováno 1,2,3,4,5,6, máme to jako 1-5 a k tomu 6 a zároveň jako 2-6 a k tomu 1) a nechceme ani jednu. Takže $a_5=45\cdot44-2a_6=1892$ .

3) Vypočítám počet možností, kdy po sobě jdoucích čísel je právě 4 ( $a_4$ ). Sérií k až k+3 je 46, k tomu 2 ze 45. Je-li jich ale právě 5, máme tam tuto možnost dvakrát, je-li jich 6, tak třikrát. Takže $a_4=46\left(45\atop2\right)-2a_5-3a_6=41624$ .

4) Vypočítám počet možností, kdy po sobě jdoucích čísel je právě 3 ( $a_3$ ). Sérií k až k+2 je 47, k tomu 3 ze 46. Obdobně odečteme $2a_4+3a_5+4a_6$ . Ale teď pozor - pokud jsou to dvě oddělené trojice (např. 1,2,3,5,6,7), máme tam tu možnost dvakrát, ale chceme ji jen jednou. Zřejmě je jich $\left(44\atop 2\right)$ . Takže $a_3=47\left(46\atop3\right)-2a_4-3a_5-4a_6-\left(44\atop2\right)=623414$ .

Požadovaný počet možností je tedy $\left(49\atop6\right)-a_3-a_4-a_5-a_6=13316842$ .

:))

van Thomas · 14. 01. 2016 22:43

Asi jsem se nechal unést tím doplňkovým jevem, až teď mě napadlo, že je to zřejmě jednodušší přímo:

Možností, že není ani dvojička, je $\left(44\atop6\right)$ .

Možností, že jsou to tři oddělené dvojičky, je $\left(44\atop3\right)$ .

Možností, že jsou to dvě dvojičky a dvě singl čísla, je $\left(44\atop4\right)\left(4\atop2\right)$ .

Možností, že je to jedna dvojička a čtyři singl čísla, je $\left(44\atop5\right)\cdot5$ .

Součet vyjde stejně.

Wotton · 15. 01. 2016 10:34

↑ van Thomas:
jen podle odhadu (a zkušenosti) ta pravděpodobnost bude hodně malá; počítej kolem 0.05-0.25, takže to nevypadá dobře.

Ale nepočítal jsem.

van Thomas

↑ Wotton:
Četl jsi pořádně zadání? Chce se pravděpodobnost, že NEjsou tři po sobě jdoucí! Navíc jsem nabídl dva nezávislé výpočty - přímo i přes doplněk - a vychází to stejně. Takže bych si vsadil, že je to správně (raději než sportku ;-) ).

Wotton · 15. 01. 2016 20:09

↑ van Thomas:
právě že četl. Co vím, tak to často pro taková zadání vychází tak jak jsem psal. Ale jak jsem psal, je to jen odhad a nepočítal jsem to (ani neměl čas to kontrolovat po tobě):-)

Ale teď to klidně zkouknu;-)

Wotton · 15. 01. 2016 20:38

↑ van Thomas:
Zkontrolováno a souhlasím. Vypadá to, že tentokrát jsem měl odhad fakt špatný.

van Thomas · 15. 01. 2016 20:45

↑ Wotton:
Díky za kontrolu :-) Nikomu se do toho nechtělo ;-)

Martin123 · 16. 01. 2016 16:40

tak teda dakujem za pomoc vsetkym

misaH · 16. 01. 2016 18:09 — Editoval misaH (16. 01. 2016 18:10)

↑ Wotton:

:-)

Neviem dávať + (mobil), tak aspoň takto.

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2016 11:20

tri po sebe iduce cisla

#2 14. 01. 2016 16:22

Re: tri po sebe iduce cisla

#3 14. 01. 2016 16:33

Re: tri po sebe iduce cisla

#4 14. 01. 2016 17:58

Re: tri po sebe iduce cisla

Martin123 napsal(a):

#5 14. 01. 2016 20:15 — Editoval van Thomas (14. 01. 2016 22:12)

Re: tri po sebe iduce cisla

#6 14. 01. 2016 21:29

Re: tri po sebe iduce cisla

#7 14. 01. 2016 22:28

Re: tri po sebe iduce cisla

#8 14. 01. 2016 22:43

Re: tri po sebe iduce cisla

#9 15. 01. 2016 10:34

Re: tri po sebe iduce cisla

#10 15. 01. 2016 10:48 — Editoval van Thomas (15. 01. 2016 10:48)

Re: tri po sebe iduce cisla

#11 15. 01. 2016 20:09

Re: tri po sebe iduce cisla

#12 15. 01. 2016 20:38

Re: tri po sebe iduce cisla

#13 15. 01. 2016 20:45

Re: tri po sebe iduce cisla

#14 16. 01. 2016 16:40

Re: tri po sebe iduce cisla

#15 16. 01. 2016 18:09 — Editoval misaH (16. 01. 2016 18:10)

Re: tri po sebe iduce cisla

Zápatí