Matematické Fórum

Vanitas · 13. 01. 2016 15:46

Zdravím,
mám určit, jestli řady
$\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n}\frac{sin^{2}n}{n}$
$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{ln^{100}nsin\frac{n\pi }{4}}{n}$
Konvergují. Neřeším AK. V druhé řadě bych rád použil Dirichleta, protože $\sum_{n=1}^{\infty } sin\frac{n\pi }{4}$ má omezenou posloupnost částečných součtů, ale zbytek není monotónní a už vůbec nejde k nule.
V první řadě bych použil Leibnitze, ale zase zbytek řady není monotónní.
Poradí mi někdo, co s tím??
Děkuji.

Sergejevicz

$\forall x\in\mathbb{R} : -1\leq sin(x) \leq 1$
EDIT: I když teď si nejsem jist, jestli to pomůže...

Rumburak · 13. 01. 2016 16:10

↑ Vanitas:
Ahoj.
Také nevím, ale u první řady možná pomůže skutečnost, že její formální součet s řadou $\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n}\frac{\cos^{2}n}{n}$
dá konvergentní řadu.

Pavel · 13. 01. 2016 16:17

↑ Sergejevicz:

Obávám se, že ten odhad je k ničemu. Členy uvedené řady střídají znaménka.

↑ Rumburak:

Součet obou řad je konvergentní, avšak mohlo by se stát, že obě řady divergují, jedna k $+\infty$ , druhá k $-\infty$ ,

Sergejevicz · 13. 01. 2016 16:21

Pavel napsal(a):
↑ Sergejevicz:

Obávám se, že ten odhad je k ničemu. Členy uvedené řady střídají znaménka.

Právě, no :-(.

Pavel · 13. 01. 2016 16:27

↑ Vanitas:

Posloupnost má limitu rovnou 0 pro n jdoucí k nekonečnu. Navíc platí, že je klesající od pro $n\geq\left\lceil\mathrm e^{100}\right\rceil$ . Stačí vyšetřit průběh funkce $\frac{\ln^{100}x}{x}$ . Dirichletovo kritérium fungovat bude.

Rumburak · 13. 01. 2016 16:29

↑ Pavel:
Jasně, tato vlastnost samotná nestačí.

Pavel · 13. 01. 2016 16:36

↑ Vanitas:

Na první řadu použij identitu $\sin^2n=\frac 12\,(1-\cos(2n))$ . Řadu rozděl na součet dvou dílčích řad, na první použij Leibnizovo kritérium, na druhou opět Dirichletovo kritérium.

Vanitas · 13. 01. 2016 17:52

Děkuji mockrát, obávám se, že ani na jedno řešení bych sám nepřišel.
Asi hloupý dotaz, ale přesto se zeptám. U dirichleta mě stačí, když řada bude monotónní od jistého indexu, nebo musí být monotónní celá?? Můžu si prvních k členů dát před řadu a počítat $\sum_{n=k}^{\infty }a_{n} +\sum_{n=1}^{k}a_{n}$ ??
Ta první řada je mi už jasná, děkuji.

Pavel · 13. 01. 2016 18:23

↑ Vanitas:

Ano, můžeš. Stačí, aby posloupnost byla monotonní až od jistého indexu. Je to proto, že konvergence nekonečné řady nezávisí na prvních konečně mnoha členech, ale až na těch "posledních" :-)

Vanitas · 13. 01. 2016 23:05

v první řadě tedy dostávám
$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{2n}+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}cos(2n)}{2n}$
první řada konverguje podle leibnitze, ale co s tou druhou?? $cos(2n)$ má sice omezenou posloupnost část. součtů stejně jako $(-1)^{n+1}$ , ale kombinovat to asi nemůžu.

Pavel · 14. 01. 2016 09:54

↑ Vanitas:

Omezené částečné součty má i posloupnost .

Vanitas · 14. 01. 2016 23:10

↑ Pavel:

a joo, už je mi to jasné, díky moc. Takže pak dostanu součet dvou konvergentních řad a součet je konvergentní.

Matematické Fórum

#1 13. 01. 2016 15:46

Konvergence řad

#2 13. 01. 2016 16:09 — Editoval Sergejevicz (13. 01. 2016 16:25)

Re: Konvergence řad

#3 13. 01. 2016 16:10

Re: Konvergence řad

#4 13. 01. 2016 16:17

Re: Konvergence řad

#5 13. 01. 2016 16:21

Re: Konvergence řad

Pavel napsal(a):

#6 13. 01. 2016 16:27

Re: Konvergence řad

#7 13. 01. 2016 16:29

Re: Konvergence řad

#8 13. 01. 2016 16:36

Re: Konvergence řad

#9 13. 01. 2016 17:52

Re: Konvergence řad

#10 13. 01. 2016 18:23

Re: Konvergence řad

#11 13. 01. 2016 23:05

Re: Konvergence řad

#12 14. 01. 2016 09:54

Re: Konvergence řad

#13 14. 01. 2016 23:10

Re: Konvergence řad

Zápatí