Matematické Fórum

1jirka22 · 14. 01. 2016 19:56

Je soustava rovnic o 4 neznámých:
x+y=4
y+z=8
z+t=12
x+t=8

matice je: (nevím jak se dělá velká závorka a znak pro rozšířenou matici použiju / )
1 + 1 0 0 / 4
0 + 1 + 1 0 / 8
0 0 + 1 + 1/ 12
1 0 0 + 1 / 8

nuly mají být pod hlavní diagonálou, takže stačí odečíst čtvrtý řádek od třetího. Ale jak to mám udělat, když třetí řádek je x nulové a čtvrtý ne?

nanny1 · 14. 01. 2016 20:08

Ahoj, já bych tu matici upravila standardně na stupňovitý tvar, tj. zbavila bych se jedničky v 1. sloupci 4. řádku odečtením 1. řádku od čtvrtého.

Cheop · 15. 01. 2016 12:21 — Editoval Cheop (15. 01. 2016 12:21)

↑ 1jirka22:
Tvoje soustava vede k řešení:
$x=8-t\\y=t-4\\z=12-t\\t=t$

Rumburak

↑ 1jirka22:

Ahoj.

Matici soustavy

x+y=4
y+z=8
z+t=12
x+t=8 ,

když jako vektor řešení bereme (x, y, z, t), má tvar

1 1 0 0 | 4
0 1 1 0 | 8
0 0 1 1 | 12
1 0 0 1 | 8 .

Odečteme-li od posledního řádku řádek první, dostaneme

1 1 0 0 | 4
0 1 1 0 | 8
0 0 1 1 | 12
0 -1 0 1 | 4 .

Nyní přičteme k poslednímu řádku druhý - vyjde

1 1 0 0 | 4
0 1 1 0 | 8
0 0 1 1 | 12
0 0 1 1 | 12 ,

kde čtvrtý řádek (celý včetně č. 12 odpovídajícího pravé straně rovnice) je roven třetímu, proto ho můžeme
vyškrtnout (formálněji: odečíst od čtvrtého řádku řádek třetí). Máme tedy soustavu o matici

1 1 0 0 | 4
0 1 1 0 | 8
0 0 1 1 | 12 ,

která už je v diagonálním tvaru a tedy přístupná dalším úvahám, například prohlášením neznámé $t$
za parametr a přepisem soustavy do tvaru

1 1 0 | 4
0 1 1 | 8
0 0 1 | 12 - t

pro neznámé x, y, z . Atd.

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2016 19:56

Jak vyřešit tuto soustavu rovnic maticí?

#2 14. 01. 2016 20:08

Re: Jak vyřešit tuto soustavu rovnic maticí?

#3 15. 01. 2016 12:21 — Editoval Cheop (15. 01. 2016 12:21)

Re: Jak vyřešit tuto soustavu rovnic maticí?

#4 15. 01. 2016 14:10 — Editoval Rumburak (15. 01. 2016 15:20)

Re: Jak vyřešit tuto soustavu rovnic maticí?

Zápatí