Matematické Fórum

KamcaS · 17. 01. 2016 15:01

Ahoj, potřebuji pomoc s důkazem tohoto příkladu:

Nechť x je reálné číslo takové, že x + 1/x je celé. Dokažte, že potom je pro každé ${N}$ n číslo $x^{n} + (1/x^{n})$ celé.

Osobně bych to řešila matematickou indukcí, pro n = 1 je to jasné, ale pro n + 1 už nevím co s tím.

Předem děkuji za rady

lucash · 17. 01. 2016 15:14

zkus vyjít z rovnosti $x^{n}+(\frac{1}{x^{n}})=x^{n}+(\frac{1}{x})^{n}=\frac{x^{2n}+1}{x^{n}}$

KamcaS · 17. 01. 2016 15:24

↑ lucash: Děkuji za pomoc, ale asi mi to úplně nepomohlo, stále to nechápu.

Když dám, že n = $n_{0} +1$ , tak mi vznikne $x^{n_{0}+1} + 1/x^{n_{0}+1}.$ A nevím, jak s tím dál.

Bati · 17. 01. 2016 17:04

Ahoj ↑ KamcaS:.
Spočti si kolik je $$x^n+\frac1{x^n}$$x+\frac1x$$ a použij indukční předpoklad.

KamcaS · 17. 01. 2016 17:16

↑ Bati:

no to mám, to je těch $x^{n+1} + 1/x^{n+1}$ . Ale pořád nevím, jak na to využít ten indukční předpoklad. Víme, že mocnina bude podle předpokladu přirozené číslo. Ale jak z toho vím, že výsledek bude celé číslo?

Bati · 17. 01. 2016 17:33 — Editoval Bati (17. 01. 2016 17:40)

KamcaS napsal(a):
no to mám, to je těch $x^{n+1} + 1/x^{n+1}$ .

To máš špatně. Jak se násobí?

Indukční předpoklad použiješ pro $n$ , $n-1$ a $1$ a pomocí rovnosti, kterou sis odvodila dostaneš požadované tvrzení pro $n+1$ . Protože používáme indukční předpoklad pro 2 předcházející členy, je třeba také ověřit, že $x^2+x^{-2}$ je celé. Nebo jít případně s $n$ od nuly, kde to tvrzení je triviální. Pak je teprve možné nastartovat indukci.

Taky se to celé dá říct takhle: Posloupnost $a_n=x^n+x^{-n}$ je řešením diferenční rovnice
$a_{n+2}-a_1a_{n+1}+a_n=0$ .
Odtud už je vidět všechno.