Matematické Fórum

jeame · 17. 01. 2016 16:48

Ahojte,

mám tu základní příklad na limitu:

$\lim_{n\to\infty }(\sqrt{n^{2}+3n-1}-n)$

chtěl bych se zeptat proč se jednoduchým vytknutím n pod odmocnicnou:

$\lim_{n\to\infty }(\sqrt{n^{2}(1+0-0)}-n)$

odmocněním:

$\lim_{n\to\infty }(n*\sqrt{1}-n)$

a vytknutím:
$\lim_{n\to\infty }(n*(1-1))=0$

Dostanu ke špatnému výsledku? Která z těch operací je špatně?

(Cestu ke správnému výsledku znám, jednoduše bych rozšířil limitu chytrou jedničkou, po upravách bych dostal:

$\lim_{n\to\infty }\frac{3n-1}{\sqrt{n^{2}(1+0-0)}+n}$ odmocním n^2, vytknu n, dostanu
$\frac{3n-1}{2n}$ a mám výsledek $\frac{3}{2}$ )

Děkuji!

Al1 · 17. 01. 2016 17:00

↑ jeame:

Zdravím,

tvé zápisy nejsou správné, i když myšlenka ano

$\lim_{n\to\infty }(\sqrt{n^{2}+3n-1}-n)=\lim_{n\to\infty }\left(\sqrt{n^{2}\left(1+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^{2}}\right)}-n\right)=\lim_{n\to\infty }\left(n\left \sqrt{1+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^{2}}}-1\right)\right)=\infty \cdot 0$

Tento výraz vede k různým hodnotám, proto při výpočtu volíme způsob, jak se ho "zbavit"

teorie např. zde

jeame · 17. 01. 2016 17:24

Ahoj,

děkuji! Takže v podstatě žádná z těch početních operací výše není chybná, jen jednoduše se dostanu opět k neurčitému výrazu, tudíž bych musel začít od začátku a jinak... (No já jsem si ani nevšiml neur. výrazu, ta 0 v součinu mě zaslepila)

Takže v jiných podobných příkladech by to fungovat mohlo? (Když bych se dopracoval k něčemu jinému než neurč. výraz..)