Matematické Fórum

Martin123

Dobry den.
Mam dokazat takuto vetu a vobec neviem ako na to - Ak $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ su nahodne premenne v pravdepodobnostnom priestore $(\Omega ,p)$ s konecnymi obormi hodnot a $E(x_{1}),E(x_{2}),...,E(x_{n})$ su ich ocakavane hodnoty, tak $E(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})=E(x_{1})+E(x_{2})+...E(x_{n})$ Vie mi niekto pomoct?

Brano · 17. 01. 2016 01:09 — Editoval Brano (17. 01. 2016 01:12)

$E(x_1+x_2)=\int(s+t)f_{(x_1,x_2)}(s,t)dsdt=\int sf_{(x_1,x_2)}(s,t)dsdt+\int tf_{(x_1,x_2)}(s,t)dsdt=$
$=\int sf_{x_1}(s)ds+\int tf_{x_2}(t)dt=E(x_1)+E(x_2)$
pre n je to to iste
(konkretny zapis dokazu moze trochu zavisiet od toho ako ste znacili lebesguove integraly, tak ak tomu zapisu nerozumies, tak uved napr. ako ste definovali strednu hodnotu v takomto vseoecnom pripade)

Martin123

My sme definovali strednu hodnotu takto $E(X)=\sum_{i=1}^{k}x_{i} P(x=x_{i})$ Nerozumiem odkial sa tam vzal ten integral, ako suvisi so strednou hodnotou? A co je $s$ a $t$ ?

Al1 · 17. 01. 2016 13:10

↑ Martin123:

Zdravím,

materiály pro náhodný vektor

Brano · 17. 01. 2016 16:58 — Editoval Brano (17. 01. 2016 17:02)

videl som "pravdepodobnostny priestor", tak som robil vseobecny pripad - nevsimol som si, ze si pisal konecne obory.

najprv urobme pripad pre 2 premene

cize mas $X$ co moze nadobudat hodnoty $x_k$ a $Y$ co moze nadobudat $y_l$ tak potom
$E(X+Y)=\sum_{k,l} (x_k+y_l)P[X=x_k,Y=y_l]=\sum_{k,l} x_kP[X=x_k,Y=y_l]+\sum_{k,l} y_lP[X=x_k,Y=y_l]=$
$=\sum_{k} x_kP[X=x_k]+\sum_{l} y_lP[Y=y_l]=E(X)+E(Y)$

potom pripad pre n premennych mozes urobit indukciou:
$E(X_1+...+X_{n-1}+X_n)=E(X_1+...+X_{n-1})+E(X_n)=[E(X_1)+E(X_{n-1})]+E(X_n)$
$=E(X_1)+...+E(X_n)$