Matematické Fórum

↑ Hansikii:
Primitivní funkci k f(x) bych udělal tak, že bych funkci f(x) nejdříve zintegroval a poté
tuto integrovanou funkci nakreslil např. výčtem bodů a jejich zakreslením do kartézského systému.

↑ Stýv:
Přesně tak, to je ten problem, je to bez předpisu. Pouze obrázek
↑ Bati: Nemohl by jste mě to prosím předvéct na nějakém příkladu ? Sám to asi nevymyslím.

Sergejevicz napsal(a):

Ten má právě vlastnosti primitivní funkce.

Totiž on v daném x_0 roste/klesá právě tak rychle, jakou hodnotu má v x_0 funkce f. Právě to použil kolega Bati.

↑ Sergejevicz:
Opravdu děkuji moc, už jsem ani nedoufal, že mně někdo na tento dotaz odpoví nějak užitečně. Myslím, že teď už bych měl být schopný tu primitivní funkci nakreslit. Jen takové ujištění, tu primtivní funkci budu kreslit z obrazku derivace nebo z té zadane funkce ? A s tou drivací máte samozřejmě pravdu, mám to špatně :)

↑ Sergejevicz:
Dobře, rozumím. Jen pro ujasnění, zda-li jsem to správně pochopil: Tam, kde funkce má hodnotu nula, tam má jeji primitivní funkce budto inflexni bod, lokalní extrém nebo je konstatní. Popravdě nevím jestli si mohu vybrat co z toho nakreslit, nebo jestli se to podle něčeho řídí. Dál jsem to pochopil tak, že ta část funkce, ktera je kladna (nad osou x) tak jeji primitivni funkce musí růst.
Pokusil jsem se s těmito informacemi načrtnout obrazek této primitivní funkce:


Zadana funkce má hodnotu nula v bodě nula, v záporné části osy x je funkce záporná, takže tam primitivni funkce bude klesat, v kladné části kladna, takže tam bude primitivni funkce růst. Avšak nelíbí se mně ta levá část primitivní funkce, nejspíš to mám zase špatně... :/

Hansikii napsal(a):

↑ Sergejevicz:
Dobře, rozumím. Jen pro ujasnění, zda-li jsem to správně pochopil: Tam, kde funkce má hodnotu nula, tam má jeji primitivní funkce budto inflexni bod, lokalní extrém nebo je konstatní. Popravdě nevím jestli si mohu vybrat co z toho nakreslit, nebo jestli se to podle něčeho řídí.

Já jsem jen vyjmenoval možnosti, které MOHOU nastat, nicméně k té či oné možnosti je potřeba splnit nějaké podmínky. Pozor u inflexního bodu, ten může primitivní funkce mít za jistých okolností i v případě, že v něm je zadaná funkce nenulová. Přečtěme si nějaké učebnice, nebo aspoň pojednání na Wiki :-).

POZOR! Celou dobu se bavíme o zadané funkci spojité, pokud k ní chceme dělat primitivní funkci, anebo dokonce hladké, tj. s existující tečnou ke grafu v každém bodě, chceme-li k ní dělat derivaci - protože, jak víme, existence derivace odpovídá existenci tečny a derivace je směrnice té tečny :-). To píšu pro jistotu, aby se situace nekomplikovala různými rohy či hroty, nebo dokonce skoky, nebo ještě dokonce jinými singularitami v grafech.

Jaké chování prim. fce vybrat v bodě nulovosti zadané funkce, se samozřejmě řídí, a to tím, jaké hodnoty má zadaná funkce v okolí bodu, ve kterém má hodnotu nula. Ono totiž obecně je to takto (tabulka s dvěma sloupci oddělenými symbolem |):

hodnota zadané funkce v x_0  |  co dělá primitivní funkce v x_0
___________________________________________________
1) kladná   |    roste
___________________________________________________
2) záporná    |    klesá
_____________________________________________________
3) nulová a na nějakém levém redukovaném okolí kladná a nějakém pravém redukovaném okolí záporná   |   má lokální maximum
______________________________________________________
4) nulová a na nějakém levém redukovaném okolí záporná a nějakém pravém redukovaném okolí kladná    |    má lokální minimum
______________________________________________________
5) nulová a na nějakém redukovaném okolí kladná    |    má inflexní bod, v jeho nějakém redukovaném okolí viz 1)
______________________________________________________
6) nulová a na nějakém redukovaném okolí zápornáná    |    má inflexní bod, v jeho nějakém redukovaném okolí viz 2)

Vzpomeňme na to, když jsme ještě neznali prim. fce a zabývali jsme se derivacemi - vyšetřovali jsme průběh funkce. Tam totiž přeci platila úplně stejná tabulka, akorát že první řádek vypadal takto:
hodnota derivace v x_0   |   co dělá zadaná funkce v x_0

Varuju před učením se takové tabulky a jim podobných nazpaměť. Taková tabulka se dá vždy vymyslet, tím se vlastně ukazuje, že tomu tvořitel tabulky rozumí. Nejde o nic jiného než o to představovat si grafy, k nim tečny a všímat si jejich směrnice, nebo naopak brát graf jako hodnoty směrnic, z toho tvořit tečny a k nim příslušný graf.

Musím ještě zdůraznit, že obrázky jsou dělány hoodně od oka, protože obecně průběh funkce je dán i hodnotami druhé derivace a i derivací vyšších řádů - to, pokud bychom se bavili o funkcích, ke kterým také tyto derivace existují. Chování se komplikuje v bodech neexistence některých derivací. Proto jsem na začátku psal, že budeme skoumat jen dostatečně regulární případy. To vše se přenáší i na konstrukce primitivních funkcí, což je vlastně, jak jsem řekl, obrácený postup než derivování - to, co máme zadáno, je derivace něčeho, a my hledáme to něco. Viz záměna prvního řádku tabulky :-).

Jj napsal(a):

↑ Hansikii:

Dobrý den.
......

Mně se tam tedy dost nelíbí to, že v horní mezi je stejná proměnná jako v argumentu integrandu a v diferenciálu. V argumentu integrandu a diferenciálu má být jiné písmeno, aby e to od horní meze odlišilo. V některých fyzikálních knihách jsem to viděl podobně jako v citaci a je to matoucí. Má jít o funkci čistě horní meze.