Matematické Fórum

Kubinna · 18. 01. 2016 17:53

Dobrý den,

narazil jsem na problém při výpočtu oboru konvergence. Poradil by mi někdo prosím, jak pokračovat?

Díky! :)

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(nx)^{n}}{n!}$

$r=\frac{\frac{n^{n}}{n!}}{\frac{(n+1)^{(n+1)}}{(n+1)!}}=\frac{n^{n}\cdot (n+1)!}{n!\cdot (n+1)^{(n+1)}}=\frac{n^{n}}{n^{n}+1^{n}}=\frac{1}{e}$

-obor proto bude (-1/e ; 1/e), ale musí se otestovat hraniční body:

x= 1/e:
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(\frac{n}{e})^{n}}{n!}$

-použiju podílové kritérium:
-po zkrácení n! dostanu:
$\lim_{\to\infty }\frac{(\frac{n+1}{e})^{(n+1)}}{(n+1)(\frac{n}{e})^{n}}$

bohužel jsem se poté zasekl.

Freedy · 18. 01. 2016 19:21

Ahoj,

zkus použít odhad:
$n!\approx \sqrt{2\pi n}\bigg(\frac{n}{\text{e}}\bigg)^{n}$

Jj · 18. 01. 2016 19:23 — Editoval Jj (18. 01. 2016 19:26)

↑ Kubinna:

Dobrý den.

Pokud jste zatím upravoval správně, je možno pokračovat:

$\lim_{n\to\infty }\frac{(\frac{n+1}{e})^{(n+1)}}{(n+1)(\frac{n}{e})^{n}}=\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{e^{n+1}}}{\frac{(n+1)n^n}{e^n}}=\frac{1}{e}\lim_{n\to\infty }\frac{(n+1)^n}{n^n}=\frac{1}{e}\cdot e = 1$

Takže nerozhodnuto, podle Wolframu nepomůže ani odmocninové kritérium (Odkaz), pomůže Raabeovo kritérium,
kde podle Wolframu (i s využitím úprav už výše provedených) vychází Odkaz

$\lim_{n\to\infty } n\left(e \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n}-1\right)=\frac{1}{2}$ , takže bych řekl, že pro x = 1/e řada diverguje.

(Teď se k té 1/2 ještě nějak dopočítat.)

Pozdě - nechám, moc jsem se napsal :)

Matematické Fórum

#1 18. 01. 2016 17:53

Poloměr a obor konvergence

#2 18. 01. 2016 19:21

Re: Poloměr a obor konvergence

#3 18. 01. 2016 19:23 — Editoval Jj (18. 01. 2016 19:26)

Re: Poloměr a obor konvergence

Zápatí