Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 19. 01. 2016 01:49 — Editoval Hansikii (19. 01. 2016 03:27)
Determinant matice
Ahoj, potřeboval bych si ujasnit pár faktů, např. na tomto konkrétním příkladu: 
Chtěl bych determinant spočítat gaussovo eliminační metodou, avšak předtím bych si tu matici rád upravil pomocí řádkových/sloupcových úprav, které nezmění hodnotu determinantu. (
- přičtení lineární kombinace ostatních řádků (sloupců) k jinému řádku (sloupci)
- ponechání jednoho řádku (sloupce) beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku (sloupce) k ostatním řádkům (sloupcům) matice
- transponování matice)
Tím jsem se tedy řídil: 
Vím, že když se mně nějaký řádek vynuluje tak to automaticky znamená, že determinant je nula, jenže podle výsledků je to -12. Kde je chyba ? Špatně jsem pochopil ty zeleně napsané věty ? Nebo je chyba ve výsledcích, což ale pochybuji. Předem děkuji za objasnění :)
Offline
#2 19. 01. 2016 07:57
Re: Determinant matice
ty úpravy se dělají postupně, ne najednou. nemusíš to sice rozepisovat, ale jde o to, že když přičteš 5. řádek k 1., dostaneš na prvním místě 0 a když pak přičteš 1. řádek k 5., tak tam už ti zůstane na prvním místě -2, protože přičítáš tu nulu
Offline
#4 19. 01. 2016 14:41
- misaH
- Příspěvky: 13467
Re: Determinant matice
↑ Hansikii:
Podľa mňa ten prvý riadok zostáva, nie?
Offline
#5 19. 01. 2016 14:49 — Editoval Rumburak (19. 01. 2016 15:13)
Re: Determinant matice
v prvním řádku na prvním místě dostanu tak jako tak nulu,
To záleží i na Tvém postupu . Pokud budeš provádět GEM pouze na řádky a nebudeš žádný řádek (ani sloupec)
násobit nulou, což ani není korektní úprava, pak nikdy celý první sloupec nevynuluješ (pokud není nulový už od
začátku). Změnou pořadí řádků pak lze zajistit, aby nenulové číslo v prvním sloupci bylo zároveň umístěno v prvním
řádku. Rozvojem takto upraveného determinantu podle prvního sloupce pak převedeme úlohu na výpočet
determinantu, jehož počet řádků (sloupců) je o 1 nižší, než jak bylo u determinantu původního. Nebo můžeš
pokračovat v GEM s tím, že prvním řádkem už nebudeš ovlivňovat řádky ostatní a ani první sloupec ovlivňovat
sloupci ostatními. Pokud je matice singulární, pak první sloupec vynulovat lze tím, že k němu přičteš vhodnou
lineární kombinaci ostatních SLOUPCŮ.
Offline
#6 19. 01. 2016 15:55
Re: Determinant matice
↑ Rumburak:
Takže vlastně se ta nula na pozici prvku (1,1) dá vyřešit tak, že stačí pak prohodit řádky tak, aby tam bylo nějaké nenulové číslo, nejlépe jednička.
Takže by se to dalo dobře vyřešit tak, že bych k druhému řádku přičetl první a potom bych prohodil první řádek s druhým, a na pozici prvku (1,1) bych dostal -1 a s tou už by se to dobře nulovalo, samozřejmě nesmím zapomenout na - před determinant. Potom bych už jen matici upravil gaussem a pak udělal součin prvku na diagonale a dostal bych determinant.
Laplacuv rozvoj neumím používat na determinanty jiného řádu než 4.
Offline
#7 19. 01. 2016 16:34 — Editoval LukasM (19. 01. 2016 16:35)
Re: Determinant matice
↑ Hansikii:
Sice nejsem Rumburak, ale zní to celkem rozumně, tak se to udělat dá (nebo jde rovnou od prvního řádku odečíst druhý a tím v rohu dostaneš číslo +1, nebo jde udělat mnoho jiných věcí, které povedou ke stejnému cíli).
Jinak pokud sis to ještě neujasnil, nula na diagonále nutně neznamená, že je determinant nulový. To platí až ve chvíli, kdy jsi matici doupravoval na stupňovitý tvar. U regulárních matic totiž zjistíš, že ty úpravy nepůjde dokončit bez toho, abys s tou nulou něco udělal.
Offline
#8 19. 01. 2016 16:42 — Editoval Hansikii (19. 01. 2016 16:43)
Re: Determinant matice
↑ LukasM:
Jasný, napsal jsem to s tou nulou nepřesně. Myslel jsem nulu na pozici prvku v prvním řádku a sloupci, se kterým se nehybe, jenže pak už by to ani nebyl trojúhelníkový tvar :-D Ale rád, bych se zeptal, jak se řeší tyto determinanty vyššího řadu než 4 rozvojem, byl bych rád za nějaký tip, nebo radu, popř odkaz na užitečné materialy, googlil jsem, ale nic moc tedy, nebo odkaz na nějaký řešený příklad tutou metodou.
Edit1: Rozvoj umím až do determinantu s řádem 4, výšš už ne...
Offline
#9 20. 01. 2016 12:24 — Editoval Rumburak (20. 01. 2016 13:35)
Re: Determinant matice
↑ Hansikii:
Věta o Laplaceově rozvoji je pojata velmi obecně, teoreticky i prakticky lze vystačit s jednoduššími postupy
podle následujících pravidel:
I. Hodnota deteminantu se nezmění :
(a) přechodem k transponované matici (tudíž níže specifikované operace s řádky lze se stejným účinkem
uplatnit i na sloupce),
(b) příčteme-li k některému řádku lineární kombinaci ostatních řádků .
II. Hodnota deteminantu změní znaménko, zaměnímě-li i-tý řádek s j-tým řádkem .
III. Je-li D(x) funkce, která vektoru x přiřadí hodnotu determinantu, jehož j-tý řádek je x (číslo j a ostatní řádky
považujeme za pevně dané) , potom D je lineární forma.
IV. Determinant jednotkové matice má hodnotu 1.
Odtud se dají odvodit pravidla další.
Offline