Matematické Fórum

Galileo · 19. 01. 2016 17:38

Ahoj,
začal jsem se učit limitu posloupnosti, ale něco vážně nedokážu pochopit.
Mám příklad:
$(\frac{n}{n+1})_{n=1}^{\infty}$ je konvergentní. Dokažte.
Takže z několika členů si zjistím hypotézu, že má limitu v 1.
A tudíž z definice plyne:
$|\frac{n}{n+1}-1|<\varepsilon$
$|\frac{n-n-1}{n+1}|<\varepsilon$
$|\frac{-1}{n+1}|<\varepsilon$
$\frac{1}{n+1}<\varepsilon$

Ale teď už nevím, co dál. Můžu si za $\varepsilon$ dosadit například 0,01 a zjistit, že:
$\frac{1}{n+1}<0,01$
$100<n+1$
$n>99$
A tudíž od členu n=100 a vyšších je jejich vzdálenost od čísla 1 menší než 0,01. Jak se ale dokáže, že to tak platí pro všechna čísla? Vždyť z toho, co jsem zatím napsal to přímo neplyne, ne?

Eratosthenes

ahoj ↑ Galileo:

děláš to dobře, jenom za epsilon nedosazuj konkrétní čísla:

Zvolím libovolné $\varepsilon >0$ a hledám n tak, aby

$\frac{1}{n+1}<\varepsilon$

$n+1>\frac 1 {\varepsilon}$

$n> \frac 1 {\varepsilon} -1$

a takové n najdeš vždycky, ať je epsilon jak chce malé...

Galileo · 19. 01. 2016 19:04

$n\cdot (4-\varepsilon )<\varepsilon -5$ Dobře, díky. A jak bych dokázal, že u této posloupnosti je hypotéza,že má limitu např. v 5 chybná?
$|\frac{n}{n+1}-5|<\varepsilon$
$|\frac{n-5n-5}{n+1}|<\varepsilon$
$|\frac{-4n-5}{n+1}|<\varepsilon$
$\frac{4n+5}{n+1}<\varepsilon$

A co dál, jak to dokázat?

$4n+5<\varepsilon \cdot (n+1)$
$4n+5<\varepsilon n+\varepsilon$
$4n-\varepsilon n<\varepsilon -5$
$n\cdot (4-\varepsilon )<\varepsilon -5$ ; děleno (4- $\varepsilon$ ), pro $\varepsilon$ <4 a >0
$n<\frac{\varepsilon -5n}{4-\varepsilon }$

Nic jiného mě ale nenapadá.

Eratosthenes · 19. 01. 2016 20:27

↑ Galileo:

Tady naopak jediná hodnota stačí. Zvolíme např. $\varepsilon = 0.1$

a žádné přirozené n, pro které platí

$\frac{4n+5}{n+1}< 0.1$

neexistuje.

Galileo · 19. 01. 2016 20:40

Aha, moc díky za pomoc.

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2016 17:38

Limita posloupnosti

#2 19. 01. 2016 18:29 — Editoval Eratosthenes (19. 01. 2016 18:30)

Re: Limita posloupnosti

#3 19. 01. 2016 19:04

Re: Limita posloupnosti

#4 19. 01. 2016 20:27

Re: Limita posloupnosti

#5 19. 01. 2016 20:40

Re: Limita posloupnosti

Zápatí