Matematické Fórum

Orun16 · 20. 01. 2016 09:27

Dobrý den,
prosím o pomoc s tímto příkladem:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/76536_orto.png
zkusila jsem počítat takto, ale ztratila jsem se, nevím, jak se dostat k výsledku
$v = (1,2,1)$
$u = (0,1,2)$
$a = (a1,a2,a3)$
$x= (0,1,-1)$

$a.v1 = a1+2a2+a3 = 0$
$a.u1 = a2+2a3 = 0$ $a2=0$ $a3=0$ $a1=0$

$|v| = \sqrt{6}$
$|u| = \sqrt{5}$
|a| =

$v_{n}= \frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)$
$u_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}}(0,1,2)$
$a_{n} =$

předem děkuji za jakoukoliv pomoc

Sergejevicz · 20. 01. 2016 09:49

Zdar!

Asi jsi nejdřív hledala vektory "u", že ano? Ale nevyšetřila jsi, jestli je "u" kolmý k "v". A on právě není - spočítej si skalární součin. Já bych začal právě tím, že bych hledal nejprve "u" tak, že je kolmé k "v". Až potom bych hledal "a" tak, aby bylo kolmé k "u" i k "v" - to jsi dělala.

Takže bych nejprve řešil rovnici $u_1u_1 + u_2u_2 + u_3u_3 = 0$ . Řešením je například tvé "u", ale pohraj si trochu se znaménky :-). Dál postupuj, jak jsi postupovala. Správně je také znormování.

Naleznutí souřadnic vektoru "x" vzhledem k té bázi je hledání $c_1, c_2, c_3$ tak, aby $c_1u + c_2v + c_3a = x$ , což je přesně soustava lin. rovnic s maticí se sloupci $u^T, v^T, a^T$ a pravou stranou $x^T$ .

vanok · 20. 01. 2016 10:28

Pozdravujem ↑ Orun16: a tiez ↑ Sergejevicz:,
Kolega ↑ Sergejevicz: ti dava jednu moznu metodu.
Ako ze je viacej metod riesenia, vratim sa sa k ↑ Orun16:.
Su tam dobre ako aj spate myslienky, ale zial nekomentujes co robis. ( to je ale nevyhnutne, lebo tvoji citatelia nema ju hadat co chces povedat!)
Tak tu ti dam mozny postup, ako zacat pisat jedno mozno riesenie.
Zaciatok riesenia.
Podla textu cvicenia, mame nast najprv jednu ortogonalnu $v = (1,2,1)$ bazu priestoru $R^3$ ktorej jeden vektor je $\vec v = (1,2,1)$
Preto je uzitocne nast mnozinu vsetkych orthogonalnych vektorov z vektorom $\vec v$ ,
To da vyjadrit vdaka scalarnemu sucinu,
tak budeme hladat vsetki vektory $\vec a = (a_1,a_2,a_3)$ kolme z $\vec v$ ,
cize take, ze $\vec a . \vec v=0$
Co sa pise $a.v1 =a_1+2a_2+a_3= 0$
Riesenia poslednej rovnice sa daju vyjadrit vdaka realnym parametrom $p,q$
$a_1=-2p-q\\a_2=p\\a_3=q$
Teraz vyberme jeden nenulovy vektor z tychto rieseni, napr $\vec u=(0,1,-2)$ ...
Pokracuj, pis podrobne tvoje riesenie.....

Orun16 · 20. 01. 2016 14:31

Pánové, moc vám děkuji :)
Po přečtení vašich komentářů jsem se snad posunula o kus dál:
Mám tedy ze zadání:
$\vec{v} = (1,2,1)$
Najdu si kolmý vektor:
$\vec{u}= (0,1,-2)$
Aby byl i $\vec{a}$ kolmý, počítám vektorový součin:
$\vec{u}$ x $\vec{v}$ = 2.(-2)-1.1,1.0-1.(-2),1.1-2.0 = (-6,2,1)
$\vec{a}$ = (-6,2,1)
Z čehož vím i $|a| = \sqrt{41}$ ,
normuji: $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{41}} (-6,2,1)$
S tím dosazením do matice mám tedy napsat na levou stranu jednotlivé vektory (nenormované) do sloupců
a na stranu pravou vektor, jehož souřadnice hledám,upravím na schodovitý tvar a získám jeho souřadnice...

vanok · 20. 01. 2016 15:39

↑ Orun16:,
Tvoje matematicke vyjadrenie treba zlepsit! I ked mozes mat dobre myslienky, co z toho ked to nie he dobre povedane.

Inac mas uz dva vektory hladanej bazy
Treti musi byt kolmy z oboma.
Nech jeho suradnice su $(b1,b2,b3)$
Co nam da system dvoch rovnic ???dopln?... ( preco?). Pokracuj.

holyduke

Edit: prehledl jsem numerickou chybu

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Orun16 · 20. 01. 2016 18:04 — Editoval Orun16 (20. 01. 2016 18:05)

Při výpočtu 3. vektoru: $\vec{v}$ x $\vec{u}$
víme-li $\vec{v} = (1,2,1)$ a $\vec{u} = (0,1,-2)$
tj. 2.(-2)-1.1, 1.0-1.(-2), 1.1-2.0 $\vec{a}=(-5,2,1)$
potom: $\vec{v}$ . $\vec{a}$ = 0
$\vec{u}$ . $\vec{a}$ = 0
Potom by:
$|a| = \sqrt{30}$
$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{30}} (-5,2,1)$
souřadnice vektoru x:
$x=c_{1}.v+c_{2}.u+c_{3}.a$
$x.v_{n} = \frac{1}{\sqrt{6}}$
$x.u_{n} = \frac{3}{\sqrt{5}}$
$x.a_{n} = \frac{1}{\sqrt{30}}$
$x=(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{3}{\sqrt{5}},\frac{1}{30})$
Mohlo by to být takto?

vanok · 20. 01. 2016 18:11

Ahoj ↑ holyduke:,
Myslis sa
Najprv nerespektuje metodu redancie, To je skoda, lebo treba sa vyjadrit jednoznacne!
Potom ten vektor na ktory asi myslis, ( suradnice (-6 ,2,1) ) nie je kolmy z vektorom $\vec v$
Chybe ktoreho sa da lahko vyhnut ( vdaka dobrej redakcii....)

vanok · 20. 01. 2016 18:24 — Editoval vanok (20. 01. 2016 20:20)

Pokracovanie.
↑ Orun16:
Co si pisala zaroven so mnou je dobre riesenie
$\vec a$ je treti vektor moznej bazy.

Pre citatelnost napis teraz ortonormalnu bazu co predosla baza umoznuje vytvorit ( tu treba jasne ukazat trojicu jej vektorov z ich pomenovanim)
( To urobi tvoju odpoved jasnejsisiu)

Na koniec vyjadri v poslednej baze vector $\vec x$ ( navrhnuta metoda je ok, v tom zmysle ze ak formalne napises $\vec x$ v najdenej ortonormalnej bazy, na urcenie jeho suradnice v tej bazy je mozne pouzit skalarny sucin)

Sergejevicz · 20. 01. 2016 18:48

Vektorový součin, taky cesta :-).

Dál:

Tohle

Orun16 napsal(a):
$x=c_{1}.v+c_{2}.u+c_{3}.a$

je ještě jakž takž dobře. Tedy prohodit strany, protože x hraje roli pravé strany standardní soustavy lin. rc.

Pamatovat na to, že normy jsme nechali stranou, takže výsledek bude vzhledem k této nenormované bázi, takže pak budeme muset normy ve výsledku nějak zohlednit.

Ale tohle

Orun16 napsal(a):
$x.v_{n} = \frac{1}{\sqrt{6}}$
$x.u_{n} = \frac{3}{\sqrt{5}}$
$x.a_{n} = \frac{1}{\sqrt{30}}$
$x=(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{3}{\sqrt{5}},\frac{1}{30})$
Mohlo by to být takto?

už je špatně. To nějak nedává vůbec smysl. Psal jsem, že máš zkonstruovat tu soustavu. To je (pozor na normy) rovnice, jak i správně máš,
$c_{1}.v+c_{2}.u+c_{3}.a=x$
No ale ona je to vektorová rovnice, to u, v, a jsou vektory. Psal jsem, že je máš do soustavy dát sloupcově, tj. napsat je nasvislo (to bylo to téčko v exponentu, jako transpozice, tj. přerovnání z řádkové orientace na sloupcovou). Po aplikaci pravidel pro násobení vektoru číslem (koeficientem c_i, i = 1, 2, 3) a sčítání vektorů dostaneš tři rovnice pro tři neznámé c_i. Ale ty to napíšeš v maticovém tvaru, kam se píšou už jen ta u, v, a rozepsaná do složek. A přirozeně i x, rovněž nasvislo.

Sergejevicz · 20. 01. 2016 19:27

Taky je dobré si rozmyslet, že řešení soustavy bez normování vektorů levé strany vede k řešení. To proto, že že budeme-li znát např. $c_1$ píslušné k $v$ , tak $c_1\|v\|$ bude příslušné k $\frac{1}{\|v\|}v$ . Kdo nevěří, nechť si roznásobí - normy se "požerou" :-). Obdobně s ostatními $c_i$ a příslušnými vektory a jejich normami.

Orun16 · 21. 01. 2016 09:08

↑ Sergejevicz: mockrát děkuji za komentáře,
mám tedy vektory v maticovém tvaru, matice má tvar:

1 0 -5 0
2 1 2 1
1 -2 1 -1

1 0 -5 0
0 1 12 1
0 -2 6 -1

po úpravách:
1 0 -5 0
0 1 12 1
0 0 30 1

z čehož mi vychází: $(\frac{1}{6},\frac{3}{5},\frac{1}{30})$ tj. už konečný výsledek souřadnic vektoru $\vec{x}$ ?

vanok · 21. 01. 2016 10:28 — Editoval vanok (21. 01. 2016 10:29)

↑ Orun16:
Ahoj
Skoda ze necitas rady.
No ak ti staci mat len nejake vypocty bez vysvetlenia tak nemam co povedat.
No vsak normalne treba mat uplne riesenie.

Dobre pokracovanie a vela uspechov.

Sergejevicz

↑ Orun16:

Výpočet je dobře, ale výsledek to ještě není. Psal jsem o tom.
Přečti si znovu tohle:

Sergejevicz napsal(a):
Pamatovat na to, že normy jsme nechali stranou, takže výsledek bude vzhledem k této nenormované bázi, takže pak budeme muset normy ve výsledku nějak zohlednit.

a tohle:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 60#p502960

EDIT: Opraven překlep.

Matematické Fórum

#1 20. 01. 2016 09:27

ortonormální báze

#2 20. 01. 2016 09:49

Re: ortonormální báze

#3 20. 01. 2016 10:28

Re: ortonormální báze

#4 20. 01. 2016 14:31

Re: ortonormální báze

#5 20. 01. 2016 15:39

Re: ortonormální báze

#6 20. 01. 2016 17:24 — Editoval holyduke (20. 01. 2016 18:13)

Re: ortonormální báze

vanok napsal(a):

#7 20. 01. 2016 18:04 — Editoval Orun16 (20. 01. 2016 18:05)

Re: ortonormální báze

#8 20. 01. 2016 18:11

Re: ortonormální báze

#9 20. 01. 2016 18:24 — Editoval vanok (20. 01. 2016 20:20)

Re: ortonormální báze

#10 20. 01. 2016 18:48

Re: ortonormální báze

Orun16 napsal(a):

Orun16 napsal(a):

#11 20. 01. 2016 19:27

Re: ortonormální báze

#12 21. 01. 2016 09:08

Re: ortonormální báze

#13 21. 01. 2016 10:28 — Editoval vanok (21. 01. 2016 10:29)

Re: ortonormální báze

#14 21. 01. 2016 10:44 — Editoval Sergejevicz (21. 01. 2016 10:49)

Re: ortonormální báze

Sergejevicz napsal(a):

Zápatí