Matematické Fórum

kulicka · 20. 01. 2016 13:41

Dobrý den,
potřebovala bych poradit s tímto příkladem:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/92967_Screenshot_101.png

Homogenní rovnice je $y''-5y'+4y=0$ . Její charakteristický polynom
$\lambda ^{2} \cdot e^{\lambda x} -5 \lambda \cdot e^{\lambda x}+4 \cdot e^{\lambda x} =0$ . Jeho řešení jsou $\lambda_1=4$ a $\lambda_2=1$ .

$y=c_1 \cdot e^{x} + c_1 \cdot e^{4x}; c_1,c_2 \in \mathbb{R}$

Pravá strana původní rovnice je polynom stupně 3.
$y_0=x^0 \cdot (ax^{2}+bx+c) \cdot e^{0x} =ax^{2}+bx+c$
$y_0'=2ax+b$
$y_0''=2a$

Dosazením do původní rovnice:
$2a-5(2ax+b)+4(ax^{2}+bx+c)=32x^2$
Řešením je: $a=8$ , $b=20$ , $c=21$

Obecné řešení by mělo být:
$y=8x^{2}+20x+21 +c_1 \cdot e^{x} + c_1 \cdot e^{4x}; c_1,c_2 \in \mathbb{R}$

Jak na to konkrétní řešení?

Předem díky.

kajzlik

Ahoj,
prostě dosadíš za $x=0$ , tj.
$y(0) = 21+c_1+c_2 = 0$ , obdobně pro druhou rovnici, kterou akorát zderivuješ a položís rovnou nule.
Budeš mít soustavu 2 rovnic pro parametry $c_1, c_2$ , které z ni určíš.

kulicka · 20. 01. 2016 14:22

↑ kajzlik:
Jakou druhou rovnici? :-O

kajzlik · 20. 01. 2016 15:17

Okej byl jsem línej to rozepisovat...
Máš dvě podmínky,

$y(0) = 0$ a $y'(0)= 0$ . První je v příspěvku nahoře, z tý druhý plyne $20 +c_1 +4c_2 = 0.$ Dostaneš to tak, že $y(x)$ ( to řešení) nejprve zderivuješ a pak dosadíš nulu.

Sergejevicz

↑ kulicka:
Poznámka: Charakteristický polynom se říká jen tomu, co zbyde po vydělení $\exp(\lambda x)$ , tedy skutečně polynom v proměnné $\lambda$ . :-)

Matematické Fórum

#1 20. 01. 2016 13:41

Diferenciální rovnice druhého řádu

#2 20. 01. 2016 13:44 — Editoval kajzlik (20. 01. 2016 13:45)

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu

#3 20. 01. 2016 14:22

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu

#4 20. 01. 2016 15:17

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu

#5 20. 01. 2016 19:52 — Editoval Sergejevicz (20. 01. 2016 19:52)

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu

Zápatí