Matematické Fórum

Katsushiro · 21. 01. 2016 15:03

Ahoj všichni!

Tak se snažím pročítat materiály o obyčejných diferenciálních rovnicích a u metody "speciálních pravých stran" jsem narazil na to, že když mám rovnici

$cos(2t)(B-18A-1) + sin(2t)(18B + A) = 0$ , kde $A,B \in \mathbb{R}$ ,

můžu tuto rovnici převést "díky lineární nezávislosti funkcí sin(2t) a cos(2t)" na tuto soustavu:
$-18A + B = 1\\ A + 18B = 0$

Mohli byste mi, prosím popsat, co je to za pravidlo? Nevzpomínám si na žádné pravidlo o lineárně nezávislých funkcích, které by tohle umožňovalo.

Moc díky za odpovědi,
Katsu

Bati · 21. 01. 2016 15:30 — Editoval Bati (21. 01. 2016 15:30)

Ahoj ↑ Katsushiro:
Uvědom si, že pokud by z té rovnice neplynula ta soustava (která jen vyjadřuje nulovost těch koeficentů), potom by muselo platit, že existuje nějaká konstanta $k$ tak, že $\sin{x}=k\cos{x}$ pro všechna $x$ , což je očividně nemožné. To je ta lineární nezávislost.

Katsushiro

↑ Bati:
Moc díky za odpověď.

Chápu, co to je lineární závislost, ale není mi jasné, proč by musela ta soustava vyplývat - mohl bys to, prosím, trochu víc rozvést?

Bati · 22. 01. 2016 12:04

↑ Katsushiro:
Ok, zkusím to napsat znovu. Měl bys souhlasit s tím, že tvůj problém se dá ekvivalentně přeformulovat takto:

Platí-li $C\cos{x}+D\sin{x}=0$ pro všechna $x\in\mathbb{R}$ , potom $C=D=0$ .

Tohle tvrzení potřebuješ dokázat. Pro spor předpokládejme, že např. $C\neq 0$ . Potom ale z té rovnosti plyne
$\cos{x}=-\frac{D}{C}\sin{x}$ pro všechna $x\in\mathbb{R}$ . A to je spor (např. proto, že tangens není konstantní funkce).

V tomhle důkazu sporem je vidět, jak tam pracuje ta lineární nezávislost funkcí sinus a kosinus. Ve skutečnosti se to tady ale dá udělat přímo, stačí za $x$ dosadit $0$ a $\frac{\pi}2$ .