Matematické Fórum

eliska123 · 21. 01. 2016 18:48

Ahoj, potřebovala bych prosím poradit.

Porovnejte mohutnost kontinua (tj. mohutnost množiny všech reálných čísel) a potence množiny přirozených čísel (tj. množiny všech podmnožin množiny přirozených čísel). Viz níže.

Chtěla bych se zeptat, proč se používá funkce arkustangens.
Proč se to přepisuje zrovna do intervalu (0,1).
A jak se dokáže, že R je ekvivalentní v intervalu (0,1). Jak se to z toho obrázku vyčte.

Děkuji za pomoc.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/98071_5-001.jpg

Sergejevicz

↑ eliska123:
Já myslím, že je to tím, že se tradičně ukazuje nespočetnost právě intervalu (0,1), a to sporem Cantorovou diagonální metodou. Pak je potřeba zobrazit bijektivně mezi sebou R a (0,1), to nám zařídí např. právě modifikovaná fce arctg nebo arccotg.

EDIT: Ale tedy formulace "přepsat funkci do intervalu" se mi dost nelíbí. Mělo by tam být "upravíme funkci tak, aby její obor hodnot byl interval...".

Rumburak

↑ eliska123:

Ahoj.

Na otázku

A jak se dokáže, že R je ekvivalentní intervalu (0,1). Jak se to z toho obrázku vyčte.

Ti odpovděl kolega ↑ Sergejevicz:.
Rovněž Ti připomněl důkaz (Cantorovou diagonální metodou), proč má inteval (0, 1) a tedy i množina všech
reálných čísel mohutnost nespočetnou (tj. větší, než je mohutnost množiny všech přirozených čísel), tudíž proč

(1) $|\mathbb{N}| < |\mathbb{R}|$ .

Ale připadá mi, že Tvůj první problém

Porovnejte mohutnost kontinua (tj. mohutnost množiny všech reálných čísel) a potence množiny přirozených čísel
(tj. množiny všech podmnožin množiny přirozených čísel).

tím vyřešen není. Pokusím se o stručné doplnění.

EDIT. Náísledující část příspěvku ODVOLÁVÁM:

Poměrně snadno se dá dokázat, že

(2) množina všech racionálních čísel má stejnou mohutnost jako množina všech přirozených čísel.

Dále: Reálná čísla se dají zkonstruovat z čísel racionálních např. pomocí Dedekindovy teorie řezů, kdy
každé reálné číslo je vzájemně jednoznačně representováno jistou speciální množinou racionálních čísel.
Reálných čísel tedy nemůže být více, než kolik je množin sestavených pouze z racionálnéch čísel, a takových
množin je dle (2) přesně tolik, jako množin sestavených pouze z přirozených čísel. Mohutnost množiny všech
reálných čísel je tedy nejvýše rovna mohutnosti potence množiny všech přirozených čísel. Můžeme tak
napsat nerovnost

(3) $|\mathbb{R}| \le |P(\mathbb{N})|$ .

Důležitou otázkou je, zda lze nerovnost (3) upřesnit na rovnost. Pokud vím, tak z axiomů "klasické"
teorie množin, například Zermello-Fraenkelovy (za případné pravopisné chyby ve jménech jejích autorů
se omlouvám) se rovnost v (3) dokázat nedá - nicméně lze ji přijmout jako další axiom , který je znám
pod názvem Hypotéza kontinua.

jarrro · 22. 01. 2016 11:34

↑ Rumburak:hypotéza kontinua je, že
$2^{\aleph_0}=\aleph_1$
či sa mýlim?
$c=2^{\aleph_0}$ je dokázateľné
reálnemu číslu z jednotkového intervalu priradíme množinu ktorá obsahuje len tie prirodzené čísla, na ktorých miestach sú v binárnom rozvoji 1tky
nie je to tak?

Rumburak · 22. 01. 2016 11:44

↑ jarrro:
Tato myšlenka vypadá zajímavě, ale musím si ji promyslet.

Rumburak

↑ jarrro:

reálnemu číslu z jednotkového intervalu priradíme množinu ktorá obsahuje len tie prirodzené čísla, na ktorých miestach sú v binárnom rozvoji 1tky

Toto přiřazení ale není vždy jednoznačné. Např. číslo x = 0,1 = 0,100 000 ... (zapsané ve dvojkové soustavě) má ještě
druhé vyjádření, a sice x = 0,011 111 ... . Podmnožina množiny všech přirozených čísel získaná dle doporučeného
předpisu z čísla x je v prvním případě konečná, ve druhém případě nekonečná. Na základě tohoto upřesnění Tvého příkladu
můžeme, myslím, s jistotou říci, že existuje bijekce intervalu (0, 1) na systém všech nekonečných podmnožin množiny
všech přirozených čísel. Odtud však stále máme jen $|\mathbb{R}| \le |P(\mathbb{N})|$ . Potřebovali bychom ještě obrácenou nerovnost.
Nebo mi ještě něco uniká ?

EDIT. Možná jsem na to přišel: Na konečné podmnožiny se zobrazí nejvýše racionální čísla Z (0, 1), jichž je pouze
spočetně mnoho.

PS. Své úvahy o hypéze kontinua prozatím beru zpět - domníval jsem se, že jde o tvrzení $c=2^{\aleph_0}$ , podívám se
ještě do literatury.

Rumburak · 26. 01. 2016 10:08

↑ jarrro:

Ahoj. Máš pravdu, spletl jsem se.

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2016 18:48

mohutnost kontinua

#2 21. 01. 2016 20:15 — Editoval Sergejevicz (21. 01. 2016 20:17)

Re: mohutnost kontinua

#3 22. 01. 2016 10:24 — Editoval Rumburak (26. 01. 2016 12:03)

Re: mohutnost kontinua

#4 22. 01. 2016 11:34

Re: mohutnost kontinua

#5 22. 01. 2016 11:44

Re: mohutnost kontinua

#6 22. 01. 2016 12:47 — Editoval Rumburak (22. 01. 2016 16:02)

Re: mohutnost kontinua

#7 26. 01. 2016 10:08

Re: mohutnost kontinua

Zápatí