Matematické Fórum

kotik16 · 21. 01. 2016 15:39

zdravím všechny, potřeboval bych trochu pomoct s aplikací trojného integrálu. Zadaní zní: vypočtěte objem tělesa ohraničeného křivkami z=0, y=1, y=x^2, x+y+z=4. Vím že bych použil trojný integrál ale opravdu se nemůžu dopočítat. Budu rád za každou pomoc. Díky

Sergejevicz

↑ kotik16:
Tady http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=89061 se řešil podobný příklad ve 2D, dál ve vláknu rozebírám obecný postup, který používám. :-)

EDIT: A tady http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 28#p499128 je něco podobného ve 3D.

kotik16 · 22. 01. 2016 12:34

↑ Sergejevicz:
Díky za reakci, já celkem umím počítat trojné integrály ale mým problémem je graf a hlavně z toho grafu pak určit to výsledné těleso. Právě pro tyhle plochy jsem úplně vyřízený :D nešlo by to aspoň nějak načrtnout ? byl bych moc vděčný :)

jelena · 23. 01. 2016 00:16

Zdravím,

↑ kotik16: výsledné těleso je dobré pro představu, ale někdy nemusí být snadno nakreslitelné, ovšem pro výpočet meze potřebuješ nějak zjistit. Ve Tvém případě bude nakresleni celkem snadné: v rovině $z=0$ nakreslím podstavu tělesa vymezenou přímkou $y=1$ a parabolou $y=x^2$ . Jelikož předpisy těchto křivek nejsou závislé na z, ve všech rovinách rovnoběžných s z=0 budou stejné vymezující křivky, tedy nad podstavou nakreslím takový kolmý "komín". Rovinu $x+y+z=4$ nakreslím tak, že najdu body náležící rovině a nacházející na souřadnicových osách, tedy položím vždy po dvojicích vždy 2 souřadnice za 0, potom na osách mám body (4, 0, 0), (0, 4, 0) a (0, 0, 4).
Zkontroluji, zda rovina $x+y+z=4$ zasahuje do podstavy, kterou jsem vytvořila na úvod: pro z=0, stopa roviny je $x+y=4$ , tuto přímku zakreslím a najdu (pokud jsou) průsečíky s podstavou.
Pro výpočty mezí hlavně potřebuješ najít průsečíky v rovině xOy (podstava tělesa). Výška tělesa z bude v mezích vyplývajících ze zadání omezujících rovin: $z=0$ a $x+y+z=4$ . Stačí tak? Děkuji.

kotik16 · 23. 01. 2016 14:50 — Editoval jelena (23. 01. 2016 17:33)

Edit: oprava TeX

↑ jelena:
jo super přesně tak to chápu taky :D děkuji. Mi však při počítání vychází nepříliš hezký výsledek. pokud to porovnám s výsledky tak se liším diametrálně. chtěl bych si jen porovnat meze. $z\in \langle 0,4-x-y\rangle\\ x\in \langle\sqrt{y},4-y\rangle\\ y\in \langle 1,(9-\sqrt{17})/2\rangle$

Sedí to? díky moc za pomoc :)

kotik16 · 23. 01. 2016 14:53

$z\in \langle0,4-x-y\rangle$

kotik16 · 23. 01. 2016 14:55

$x\in \langle\sqrt{y},4-y\rangle$

kotik16 · 23. 01. 2016 14:57

$y\in \langle1,(9-\sqrt{17})/2\rangle$

jelena · 23. 01. 2016 19:49

Děkuji, opravila jsem zápis v TeX ↑ příspěvek 5:. Nelze říci, že by to bylo úplně špatně, jelikož zadání neupřesňuje dostatečně striktně, nad kterou části oblastí vymezené uvedenými podmínkami je třeba počítat (uzavřených oblastí vychází více) a Tebou navrženou oblast vidím také jako možnou - na obrázku to je bílý trojúhelník napravo nad přímkou y=1.

Spíš ale budu předpokládat, že se požaduje pod přímkou $y=1$ a nad parabolou $y=x^2$ (fialová oblast), potom stopa roviny (zelená přímka) $y=4-x$ do této oblasti nezasahuje.

Meze pro fialový obrázek určitě najdeš. Pokud máš výsledky úlohy, tak jen překontroluj, prosím, ke které oblasti výsledek patří. Pokud výsledky nemáš, v řešení bys měl uvést výpočty pro jednu, druhou a dokonce i třetí uzavřenou oblast (modra velká nahoře nad přímkou y=1).

pokud to porovnám s výsledky tak se liším diametrálně.

zkus nejspíš vypočítat nad fialovou oblasti, meze pro $z$ jsou použitelné pro každou z uvedených oblastí.

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2016 15:39

Objem tělesa ohraničeného křivkami

#2 21. 01. 2016 16:33 — Editoval Sergejevicz (21. 01. 2016 16:34)

Re: Objem tělesa ohraničeného křivkami

#3 22. 01. 2016 12:34

Re: Objem tělesa ohraničeného křivkami

#4 23. 01. 2016 00:16

Re: Objem tělesa ohraničeného křivkami

#5 23. 01. 2016 14:50 — Editoval jelena (23. 01. 2016 17:33)

Re: Objem tělesa ohraničeného křivkami

#6 23. 01. 2016 14:53

Re: Objem tělesa ohraničeného křivkami

#7 23. 01. 2016 14:55

Re: Objem tělesa ohraničeného křivkami

#8 23. 01. 2016 14:57

Re: Objem tělesa ohraničeného křivkami

#9 23. 01. 2016 19:49

Re: Objem tělesa ohraničeného křivkami

Zápatí