Matematické Fórum

Kubinna · 22. 01. 2016 13:07

Dobrý den,

právě jsem se dostal k příkladu, který mi za žádnou cenu nechce sedět na výsledky. Poradil by mi někdo prosím? :)

Spočítejte poloměr a obor konvergence: (výsledek-> <-1;1> )

$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\cdot \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$

poloměr:

$r=\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\lim_{n\to\infty }\frac{{(-1)^{n+1}}{}\cdot (n+1)^{2}}{n^{2}\cdot (-1)^{n+2}}=\lim_{n\to\infty }\frac{-n^{2}+2n+1}{n^{2}}=-1$

- díky absolutní hodnotě: r = 1

- proto obor konvergence je: (-1;1) -> musím ale vyšetřit krajní body:
-dosadím za x= -1 :

$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{2n+1}}{n^{2}}$

?-mohu použít podílové kritérium?

$y=\lim_{n\to\infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\to\infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{(-1)^{2(n+1)+1}}{(n+1)^{2}}}{\frac{(-1)^{2n+1}}{n^{2}}}=\lim_{n\to\infty }\frac{(-1)^{3}*n^{2}}{(n+1)^{2}*(-1)}=1$

-tudíž 1 není menší jak 1 proto řada diverguje... bohužel ve výsledkách je, že konverguje

Děkuji. :)

kajzlik

Ahoj,
podílové kritérium použít nejde, řada obsahuje i záporné členy. A nejspíš máš chybu v přepisu. To co vyšetřuješ je číselná řada, nikoliv mocninná.

Rumburak

↑ Kubinna:

Ahoj.

Ke konvergenci řady

(0) $\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\cdot \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$ .

Předpis pro řadu upravíme: Z přirozených čísel $n, n+1$ je právě jedno liché, proto pro každé přirozené $n$
je $(-1)^{n+1}(-1)^n= -1$ , takže řadu (0) můžeme psát rovnou ve tvaru

(1) $\sum_{n=1}^{\infty }(-1)\cdot \frac{1}{n^{2}}$ ,

při čemž je zřejmé, že řada (1) konverguje právě tehdy, konverguje-li řada

(2) $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$ .

Konvergentnost řady (2) se dá dokázat třeba integrálním kriteriem nebo také pomocí následujícího odhadu:
Pro přirozené $n > 1$ je $n^2 > n(n-1) > 0$ a tedy

$0 < \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$ . Majorantní řadou k (2) je tudíž řada

$\sum_{n=2}^{\infty}$\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$$ ,

o jejíž konvergentnosti se přesvědčíme tím, že ji sečteme (spočteme N-tý částečný součet a najdeme
jeho limitu pro $N \to \infty$ ) .

Ale souhlasím s kolegou ↑ kajzlik:, že by bylo vhodné překontrolovat opis zadání.

Kubinna

↑ Rumburak:

Opravdu došlo k přepisu. :/

$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\cdot \frac{(x)^{n}}{n^{2}}$

Mohu se prosím zeptat, jaké pravidlo udává, že pokud tato řada konverguje:

$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$

konverguje i tato řada? :

$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)\cdot \frac{1}{n^{2}}$

Děkuji. :)

Edit://
nemá být zde n->1?

$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$

kajzlik

Ahoj,
existuje tvrzení, které říká, že pokud konverguje řada $\sum_{n=1}^{+\infty} |a_n|$ , tj. řada z absolutních hodnot $a_n$ , potom konverguje také $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ . To je k první části dotazu. K tomu druhému - to, že kolega začal indexovat od $n=2$ na výsledku nic nemění, při rozhodování o konvergenci řad je totiž možné vynechat konečný počet členů aniž bychom konvergenci porušili. Ta změna indexace byla nutná kvůli odhadu, který kolega provedl. Pro $n=1$ by totiž nebyl definovaný ( kvůli členu $\frac{1}{n-1}$ ).

Rumburak

↑ Kubinna:

Hledáme tedy obor konvergence mocninné řady

(1) $\sum_{n=1}^{\infty }\frac {(-1)^{n+1}}{n^2} \cdot x^n$ .

Nechť $R\ge 0$ je její poloměr konvergence. Již máme zjištěno, že řada (1) konverguje pro $x = -1$ .
Pomocí Leibnizova kriteria odvodíme, že konverguje též pro $x = 1$ . Do oboru konvergence řady (1)
tudíž patří celý interval $\langle -1, 1\rangle$ , takže $R \ge 1$ .

Z teorie mocninných řad je známo, že řady $\Sigma a_n x^n, \Sigma |a_n| x^n$ mají týž poloměr konvergence.
Takže hledané číslo $R$ je zároveň poloměrem konvergence řady

(2) $\sum_{n=1}^{\infty }\frac {1}{n^2} \cdot x^n$ .

Můžeme zde použít třeba d'Alembertova kriteria na řadu $\sum_{n=1}^{\infty }\frac {1}{n^2} \cdot R^n$ v závislosti na parametru
$R \ge 1$ . Jeho hranční hodnota mezi konvergencí a divergencí této řady bude hledaným poloměrem
konvergence řad (2), (1).