Matematické Fórum

Sk1X1 · 28. 01. 2016 15:10

Zdravím,
potřeboval bych poradit s určením inverzní funkce:
$y=x^{2}-2x$ pro $x\le 1$

Nejsem si jistý, co teď s tím dělat. Vím, že bych měl odmocnit, ale co pak dál?

Předem díky za všechny rady.

Rumburak

↑ Sk1X1:

Ahoj.

Kvadratická funkce není prostá v množině všech reálných čísel, proto tam nemá inversní funkci.
Ale jze ji rozdělit na dvě prosté "větve", z nichž každá už inv. funkci mít bude. Speciálně pro fci $y=x^{2}$ :

Jedna její prostá "větev" má za definiční obor interval $\langle 0, +\infty)$ , k ní inversní je $y \mapsto \sqrt{y}$
pro $y \ge 0$ , druhá prostá "větev" s definičním oborem $(-\infty, 0 \rangle$ má inversní fci $y \mapsto -\sqrt{y}$ ,
rovněž pro $y \ge 0$ .

K pochopení věci pomůže obrázek grafu zkoumané funkce.

Sk1X1 · 28. 01. 2016 16:44

Že není prostá vím, proto je as také v zadání také omezené $x\le 1$ . Takže budu dělat inverzní jen k té jedné "půlce". Z grafu také vím jak určit inverzní funkci, ale potřebuju vypočítat předpis.
U toho výpočtu vím, že musím odmocnit, ale nejsem si jistý kdy. Jestli mám odmocnit hned nebo nejdříve nějak upravit původní funkci.

Al1 · 28. 01. 2016 16:54

↑ Sk1X1:

Zdravím,

doplň předpis na čtverec

$y=(x-m)^{2}+n$ ( z něho i určíš souřadnice vrcholu V[m, n]- i když ten už jistě máš)

zdenek1 · 28. 01. 2016 17:13

↑ Sk1X1:
určení předpisu: ve vztahu pro funkci vyměníš x a y
$x=y^2-2y$
a vypočítáš $y$
to můžeš např. doplněním na čtverec
$x+1=y^2-2y+1$
$x+1=(y-1)^2$
no a nyní odmocníš
budeš mít dvě "varianty" a musíš vybrat správnou

Sk1X1 · 28. 01. 2016 18:01

Díky všem za rady.

Po úpravách tedy dostanu:
$\sqrt{x+1}=|y-1|$
a tedy dvě možnosti:
$\sqrt{x+1}=y-1$
nebo
$\sqrt{x+1}=-y+1$

A protože podle zadání je to pro záporná čísla, tak to správné je:
$\sqrt{x+1}=-y+1$
$y = -\sqrt{x+1}+1$

Je to tak?