Matematické Fórum

Belfan · 05. 01. 2016 01:38

Přeji všem pěkný den, přesněji momentálně spíše noc.

Mohl by mi někdo prosím polopatě vysvětlit, jak získám meze dvojného (trojného, x-tého) integrálu z množiny? Jde to nějak jednodušeji (= mechanickým postupem, mnemotechnickými pomůckami), než přes vykreslování grafů, které si ve většině případů ani nedokážu nakreslit / představit?

Prošel jsem všech 13 stránek co mi vyhodilo vyhledávání zde na fóru pod heslem "meze", ale stejně jako ze stránek http://math.feld.cvut.cz/tiser/iweb2.pdf nebo třeba http://mathonline.fme.vutbr.cz/Integral … fault.aspx nejsem z výsledků moc rozumný.

Mějme ukázkový příklad -

$\iint\limits_M \, (x^3+x^4){d} x\,{d} y$

- pokud jsou meze zadané ve tvaru x={0,1}, y={1,2}, tak po dosazení dostanu (prosím opravte mě, jestli se pletu)

$\int_{1}^{2} (\int_{0}^{1} \, (x^3+x^4){d} y\,){d} x$

- jak se ale příklad řeší, pokud jsou meze zadány jako množina $M=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2\le y\le1 \}$
- nebo třeba $M=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2\le4, x \ge 0, y \ge 0 \}$

Děkuji

Jj · 05. 01. 2016 09:05

↑ Belfan:

Řekl bych, že (třeba):

$M=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2\le y\le1 \}\Rightarrow \int_{-1}^{1}\int_{x^2}^{1} f(x,y) \ dy \ dx$

Odkaz

$M=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2\le4, x \ge 0, y \ge 0 \}\Rightarrow \int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}} f(x,y) \ dy \ dx$

Odkaz

Při změně pořadí integrace je třeba přepočítat (tzn. ne jen "přehodit") i meze --> nejlépe vždy náčrtek oboru integrace.

Belfan · 05. 01. 2016 09:19

Děkuji velmi za odpověď, nicméně to neřeší zákládní podstatu mého příspěvku.

"Mohl by mi někdo prosím polopatě vysvětlit, jak získám meze dvojného (trojného, x-tého) integrálu z množiny? Jde to nějak jednodušeji (= mechanickým postupem, mnemotechnickými pomůckami), než přes vykreslování grafů, které si ve většině případů ani nedokážu nakreslit / představit? "

Mnou uvedený příklad byl pouze ukázkový, nezáleží mi na výpočtu (tohoto příkladu), záleží mi na tom, jak k tomu výpočtu dojít. Bez Wolfram|Alpha. Něco ve stylu -

vzorečkem
... kvadratickou rovnici vyřešíme tak, že dosadíme hodnoty do vzorce pro diskriminant $D=b^2-4ac$ a následně vypočítáme kořeny pomocí $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ ...

mechanickým postupem
Sarrusovo pravidlo - ... vezmu první dva řádky matice, hodím je pod matici, v kříži vynásobím hodnoty a podle toho jestli jdu zprava, nebo zleva buď hodnoty k sobě přičtu, nebo odečtu ...

mnemotechnickými pomůckami
... na cívce jako na dívce, nejdřív napětí, potom proud (z elektrotechniky - fázor napětí na cívce předbíhá fázor proudu o 90° ) ...

Jj · 05. 01. 2016 09:25

↑ Belfan:

Tak to musím přenechat věci znalejším kolegům.

Sergejevicz

Belfan napsal(a):
- pokud jsou meze zadané ve tvaru x={0,1}, y={1,2}, tak po dosazení dostanu (prosím opravte mě, jestli se pletu)

$\int_{1}^{2} (\int_{0}^{1} \, (x^3+x^4){d} y\,){d} x$

Máš to přesně obráceně. x chodí od 0 do 1, to znamená, že od 0 do 1 se integruje podle x, to je tedy ten vnější integrál (první integřítko v kombinaci s POSLEDNÍM "dé něco"), ale u něj máš meze pro y. A naopak :-).

V případě jiného zadání neumím teď dát všepopisující postup. Vždy využívám představy, která je ale podpořená uměním nakreslit graf z rovnice/nerovnice.

Tak např. v prvním případu jsou vlastně dvě nerovnice v jednom výroku. Je tam $x^2\leq y$ a $y\leq 1$ . Každá nerovnice vymezuje množinu v $\mathbb{R}^2$ , jejíž nakreslení nebo představa nejsou nezvládnutelné, naopak spadají do standardu, co by měl počtář zvládnout. Lze na to jít např. tak, že si nerovnici převedu na tvar s osamoceným y na levé straně, pak z ní na chvíli udělám rovnici, ta je předpisem nějaké funkce y = f(x), její graf umím nakreslit nebo představit si, a když tam zpět vrátím nerovnítko, přidá se k tomu grafu ještě kus roviny nad ním nebo pod ním.

Tak např. případ $x^2\leq y$ převedu na $y\geq x^2$ . Příslušná rovnice je $y= x^2$ , jejím grafem je parabola s vrcholem v počátku, a to orientovaná jako graf konvexní funkce, a původně tam bylo $\geq$ , čemuž vyhovují i body nad grafem, protože ta nerovnice přesně připouští y větší, než je funkční hodnota té kvadratické funkce.

Podobně $y\leq 1$ už máme v tvaru s y samotným nalevo, příslušná rovnice je $y= 1$ , graf této funkce je přímka rovnoběžná s x-ovou osou a protíná y-ovou osu v bodě 1, a původně tam bylo $\leq$ , tedy do množiny přidám ještě celou spodní polorovinu pod touto přímkou.

Nerovnice platí zároveň, takže se integruje přes průmik těch množin. Z obrázku je vidět, že tímto průnikem je jakýsi půměsíc (scházejí ještě očíčka a nosánek a měli bychom smajlíka :-D).

Naši množinu musíme nějak zparametrizovat, ale je vidět, že to nepůjde dvěma intervaly pro x a y mezi pevnými hodnotami. Dobré je zvolit si jednu proměnnou a v ní stanovit meze integrace jako průmět celé té množiny, a tedy jako dvě pevná čísla. Podle této proměnné se bude integrovat ve vnějším integrálu. Meze druhé proměnné pak můžeme stanovit závislé na první proměnné, což nevadí, protože první proměnná je pro druhou proměnnou jako parametr. Podle druhé proměnné se bude integrovat ve vnitřním integrálu.

V našem případě se přímo nabízí zvolit za tu druhou závislou proměnnou y a tu první, nezávislou proměnnou x, protože y už máme vyjádřené v závislosti na x těmi upravenými rovnicemi/nerovnicemi. Jde tedy o to nejprve stanovit průmět M do x. To znamená najít x-ové souřadnice krajních vrcholů půlměsíce, tj. najít, kde se graf paraboly protíná s přímkou, tj. najít řešení rovnice $x^2= 1$ . To je jistě snadné :-). Vnější integrační proměnná x tedy bude chodit od -1 do 1.

Jiná věc je, že opět z umění převádět rovnice na grafy resp. z představy není ani nutno tuto rovnici formulovat, protože když mám předpis $y=x^2$ , tak už bych z dřívějška z vlastností kvadratických funkcí a jejich grafů měl vědět, že takováto parabola prochází mimojiné body [-2,4], [-1,1], [0,0], [1,1] a [2,4]. Přímka popsaná druhou rovnicí a komentovaná výše jistě prochází právě body paraboly [-1,1] a [1,1], takže x-ové souřadnice průsečíků -1 a 1 jsou prostě zřejmé. To ale chce látku grafů funkcí dobře ovládat.

Tak a teď k mezím druhé proměnné, tj. y. Odkud kam bude chodit, je vidět už ze zadání, anebo když jsme si dali práci s představou půlměsíce, tak je vidět, že pro dané x z intervalu [-1,1] se bude pohybovat mezi parabolou a přímkou, tj. mezi hodnotymi x^2 a 1.

Takže náš integrál přede na

$\int_{-1}^{1} $\int_{x^2}^{1} \, (x^3+x^4)\mathrm{d} y$\mathrm{d} x$ .

Postup s volbou proměnné a stanovením mezí lze jistě minimálně v mnoha případech iterovat, já jsem ho v podstatě vždy nějak použil. V tomto postupu je to takto: nejvnějšnější (= nejvíc vnější, nevím, jak jinak to napsat :-)) integrál má meze nezávislé na ničem, čistě dvě konstanty, druhý nejvnějšnější integrál může mít meze závislé nejvýše na integrační proměnné nejvnějšnějšího integrálu, druhý nejvnějšnější integrál může mít meze závislé nejvýše na integračních proměnných nejvnějšnějšího a druhého nejvnějšnějšího integrálu atd., tedy n-tý nejvnějšnější integrál může mít meze závislé nejvýše na integračních proměnných prvního až (n-1)-ního nejvnějšnějšího integrálu, až ten nejvnitřnější integrál může mít meze závislé nejvýše na všech proměnných kromě té, podle které se v něm integruje. Z toho je vidět, že...

Dopíšu později :-).

EDIT: Opraveno několik překlepů v textu.
EDIT_2: Opraveny další překlepy.

Bati · 05. 01. 2016 10:22

Ahoj,
vzhledem k tomu, že ty množiny můžou být určeny libovolným počtem libovolných podmínek, obecný "mechanický postup" nemůže existovat. Proto když je možné si udělat ten obrázek, máme štěstí.

Rumburak · 05. 01. 2016 10:46

↑ Belfan:

Ahoj. Matematická věta, která toto řeší, se jmenuje Fubiniova. Jistě se dá nalézt na webu.
Kdysi jsem to tu někomu vysvětloval - pokusím se to najít a dát sem případně odkaz.

Sergejevicz · 05. 01. 2016 11:43

↑ Rumburak:
Teď píšu jen krátce: Fubiniova věta řeší záměnu vnoření jednotlivých integrálů do sebe, neřeší parametrizaci integrační oblasti. I když při takovýchhle výpočtech ji vlastně používáme.

Rumburak

↑ Sergejevicz:

Ahoj. Já znám Fubiniovu větu v podstatě takto:

Předpokládejme, že

1. $G$ je Lebesgueovsky měřitelná množina v $\mathbb{R}^{m+n}$ , kde $m,n \in \{1, 2, 3, ...\}$ ,
jejíž obecný bod $z = [z_1, z_2 , ..., z_{m+n} ]$ budeme též zapisovat ve tvaru $z =[x, y]$ , kde

$x = [z_1, z_2, ..., z_m] \in \mathbb{R}^m, y = [z_{m+1}, z_{m+2}, ..., z_{m+n}] \in \mathbb{R}^n$ ,

2. $P(G) := \{x \in \mathbb{R}^m : \exists_{y \in \mathbb{R}^n } [x, y] \in G\}$ ,

3. $R(x) := \{y \in \mathbb{R}^n : [x, y] \in G\}$ , $x \in P(G)$ ,

4. $f:G \to \mathbb{R}$ je funkce, pro niž existuje $(m+n)$ -rozměrný Lebesgueův integrál

$L := \int_G f \d \lambda_{m+n}$ .

Potom

$L = \int_{P(G)} g \d\lambda_m$ ,

kde pro libovolné (resp. skoro každé) $x \in P(G)$ je

$g(x) := \int_{R(x)} h \d\lambda_n$ ,

jestliže $h(y) := f(x, y)$ pro $y \in R(x) .$

F. věta tedy ukazuje, jak integraci rozdělit na několik etap podle dimense. Ta záměnnost pořadí integrací
(pro případy, kdy $G$ je například obdélník), je jen důsledek.

Bati · 05. 01. 2016 18:11

↑ Rumburak:
To je ok, ale myslím, že Belfanův dotaz směřoval k tomu, jak poznat, že $y\in R(x)$ pro konkrétní $G$ .

Rumburak

↑ Bati:

Ahoj.

Můj snad až příliš podrobně napsaný "referát" o F. větě byl hlavně reakcí na příspěvek
od kolegy ↑ Sergejevicz: .

Kolega Belfan se zatím neozývá, možná už má jasno.

Belfan · 06. 01. 2016 19:44 — Editoval Belfan (06. 01. 2016 19:49)

Uf, velmi děkuji všem za cenné rady. Rád bych tedy shrnul své poznatky z této diskuze svými vlastními slovy, prosím opravte mě, pokud se pletu, nebo jestli v nějakých případech poznatky nebudou platit při nějakém "exotickém" řešení.

Mám meze -
$M=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2\le y\le1 \}$

y je ohraničené z obou stran hodnotou, tudíž automaticky beru hodnoty jako meze pro y

$y=[x^2,1]$

x vezmu z čisté dedukce rovnosti (je to nějaké pravidlo v logice). Pokud je y = 1 a x = y, tak logicky musí platit že x = 1. Z toho vyplývá

$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

což jsou rovnou hodnoty mezí pro x

$x=[-1,1]$

--------------------

U druhých mezí bych tudíž mohl postupovat obdobně

$M=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2\le4, x \ge 0, y \ge 0 \}$

$x\ge 0 \text{ a } y\ge 0$ - což jsou dolní meze

Dolní meze dopočítám jako

$x=\sqrt{4-y^2}$ a $y=\sqrt{4-x^2}$

výsledek

$y=[0,\sqrt{4-x^2}]$
$x=[0,\sqrt{4-y^2}]$

Rumburak

↑ Belfan:

Ahoj. Shrnul bych to poněkud jinými slovy :-).

Množinu $M$ , přes kterou se provádí vícerozměrná integrace, nenazýváme "mezemi", ale integrační množinou.
Dejme tomu, že počítáme dvojný integrál přes množinu $M=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2\le y\le1 \}$ .

Množinu $M$ nejprve kolmo promítneme do některé souřadnicové osy - teoreticky je jedno, do které, avšak s hlediska
praktického výpočtu může být některá volba výrazně méně výhodná než jiná. Dejme tomu, že množinu $M$ kolmo
promítneme do osy $x$ a tento její průmět označíme $P(M)$ . Bude tedy $P(M) = \langle -1, 1\rangle$ (pro obecnou
množinu $M$ to ale interval být nemusí). Přes množínu $P(M)$ se pak bude provádět "vnější" integrace, a to
podle $x$ (protože jsme promítali do osy $x$ ).
Nyní ke zvolenému $x \in P(M)$ najdeme množinu $R(x)$ všech těch $y$ , pro něž $[x, y] \in M$ . (Technická
představa: bodem $[x, 0]$ vedeme rovnoběžku $p(x)$ s osou $y$ a průnik přímky $p(x)$ s množinou $M$ promítneme
kolmo do osy $y$ ) . V našem případě bude $R(x) = \langle x^2, 1\rangle$ (ani tato množina by v obecném případě nemusela
být intervalem). Přes množinu $R(x)$ se pak provádí vnitřní integrace podle $y$ .

Sergejevicz · 08. 01. 2016 12:40

Belfan napsal(a):
výsledek

$y=[0,\sqrt{4-x^2}]$
$x=[0,\sqrt{4-y^2}]$

To není dobře už proto, že meze pro y závisejí na x, ale meze pro x zase závisejí na y. Ty potřebuješ, aby meze x na ničem nezávisely, protože v nich budeš chtít integrovat vnějším integrálem. Zatímto meze y můžou záviset na x, neb x je z pohledu integrace podle y, tedy z pohledu vnitřní integrace, pouhý parametr.

Nesnažil bych se stanovovat si mechanické postupy typu "když je tam něco > 0, tak to hned ynamen8, že dolní mez pro to něco je nula". To tě svede na zcestí. Raději si zopakuj, co znamenají jednotlivé nerovnosti, tj. jaké množiny v R^2 vymezují. To bys měl umět, jednotlivé nerovnosti znamenají základní typy množin. Nakresli si je a najdi průnik. Na něj se pak snaž aplikovat postup "najít meze pro x nezávislé na ničem" + "najít meze pro y závislé na x", tedy druhý krok je vlastně o tom hledat y jako funkci x.

Večer, až budu mít čas, k tomu něco napíšu, už to doma chystám :-).

Belfan · 09. 01. 2016 17:19 — Editoval Belfan (09. 01. 2016 17:21)

Takže jestli jsem to tedy správně pochopil, je nejideálnější variantou si tu množinu nakreslit - což jak mi jistě dáte zapravdu když mi nejde u dvou proměnných (2D), tak u 3 proměnných (3D) už to je pro mne nereálné dělat tímto způsobem.

Když jsem tedy tyto dvě množiny nakreslil (obrázek, foceno foťákem - nemám u sebe skener), jak z nich (hlavně z té druhé) mám poznat ty limity? Přesněji že x=[0,2], y=[0, $\sqrt{4-x^2}$ ] , což mi "vyplivnul" Wolfram? Nešlo by pro x to dořešit dosazením? Viz. Odkaz

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/56032_mno%25C5%25BEiny.jpg

Sergejevicz · 10. 01. 2016 17:31

↑ Belfan:
Meze máš dobře, ale obrázek ne. Kružnice má mít poloměr 2 :-).

To, jaké meze budou pro x, se pozná právě z toho obrázku, poté dopočítáme. Je vidět, že horní mez bude průsečík kružnice s rovnicí $x^2 + y^2 = 4$ a přímky s rovnicí $y = 0$ . Někde jsem to psal, že výhodné upravit si obě rce do tvaru "y = něco" a dívat se na ně jako na předpisy funkcí y = f(x) a na ty odpovídající křivky jako na grafy. Pak průsečík křivek má stejnou funkční hodnotu pro oba předpisy, tedy porovnáme ta vyjádřená y a dostaneme rovnici pro x-ovou souřadnici toho průsečíku.

Úprava na tvar "y = něco":

kružnice
$y = \sqrt{4 - x^2}$

přímka
$y = 0$ (už je v požadovaném tvaru).

porovnám a vypočítám x:
$y = y$
$\sqrt{4 - x^2} = 0$
$x^2 = 4$
$x = 2$

Ano, obecně vzato, kořenem je i -2, ale ten nás nezajímá, protože pořebujeme průsečík v prvním a třetím kvadrantu, jak opět ukazuje obrázek.

Jinak tedy: Jestli ti nejde takovouto množinu nakreslit, tedy případ 2D, tak to se vraď zpět někam k analytické geometrii a zopakuj si rovnice základních křivek a dalších množin, ty bys měl znát :-). V tomto příkladě tu máme například kružnici, $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$ . To je vlastně Pythagorova věta pro vzdálenost bodu $(x,y)$ na kružnici od jejího centra $(x_0,y_0)$ ve směru x, ve směru y (to jsou obě odvěsny) a ve směru spojnice toho bodu a centra (to je přepona), navíc toto je speciální tvar, kdy centrum je počátek souřadnic. Máme-li tam nerovnost, jako že my ji tam máme, znamená to, že do množiny patří body i s v našem případě menší vzdáleností od centra, tj. velý vnitřek kružnice.

Dále se nám tu vyskytují rovnice přímek, navíc opět v primitivním tvaru, kdy přímky jsou rovnoběžné se souřadnými osami. Nerovnosti prostě vymezují nějaké poloprostory. Jaké asi body $(x,y)$ mohou splňovat $y\geq 0$ než právě body s $y\geq 0$ ? :-). Píšu to naschvál takhle, protože ta situace už snad ani namůže být jednodušší. To jsou všechny body od přímky $y=0$ nahoru. Zakreslení taových množin nesmí být problém :-).

Sergejevicz · 10. 01. 2016 17:33

Mimochodem, v obrázku je špatně to, že kružnice má namalovaný poloměr 4, ale on je 2. Na pravé straně rovnice kružnice/nerovnice kruhu je totiž poloměr na druhou :-).

Sergejevicz · 10. 01. 2016 17:34

A omlouvám se, sliboval jsem tady, že něco chystám, ale já jdu v tom chystání pokračovat vlastně až teď. :-).

Sergejevicz · 10. 01. 2016 18:35

Sergejevicz napsal(a):
Dopíšu později :-).

Tak kde jsem to skončil…

Opravím tam nějaké překlepy, v tom původním příspěvku (ejvnějšnější místo nejvnějšnější atd.).

Já jsem to chtěl napsat obecně pro n-rozměrný integrál, ale pro přehlednost začněme zlehka, a to třírozměrným případem :-).

No v podstatě jsem chtěl říct, že já se to snažím dělat takhle:

Označme body třírozměrného integračního oboru $M$ jako $(x,y,z)$ . Integrační obor je tedy zadán tak, že se v něm vyskytují podmínky např. v podobě nerovnic, ve kterých jsou v nějakém vztahu proměnné $x,y,z$ . Z těchto podmínek nějak - např. za pomoci obrázku - dojdu k mezím tvaru

$x \in \[a,b\]$ ,
$y \in \[g_y(x), G_y(x)\]$ ,
$z \in \[g_z(x, y), G_z(x, y)\]$ ,
kde $g_y, g_z$ resp. $G_y, G_z$ jsou nějaké funkce určující dolní resp. horní mez pro proměnnou $y, z$ , viz dolní index. Tyto funkce jsou funkce pouze těch proměnných, podle kterých se integruje vně daného integrálu. To je v souladu s tím, že x má meze v podobě konstant, protože po x se už podle ničeho neintegruje, a tak bychom i neradi, aby byl výsledek skrz meze na něčem dalším závislý.

Integrál pak vypadá takto:
$\int_{a}^{b} $\int_{g_y(x)}^{G_y(x)} \(\int_{g_z(x,y)}^{G_z(x,y)} f(x,y,z) \mathrm{d} z$ \mathrm{d} y\) \mathrm{d} x$ .

jak najít ty funkce $g_y, g_z, G_y, G_z$ , to bývá největší ořech. Tam já jedu podle představy nebo obrázku. Taky nemusí být výhodné právě avizované pořadí proměnných, to ale lze na uvedený případ naroubovat tím, že se proměnné přeznačí.

Můj komentář ke vztahu k Fubiniově větě vizte v nějakém příštím příspěvku.

Přístup k mezím lze vidět i zde:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=88818

Sergejevicz · 10. 01. 2016 19:06

Přirozeně, dvourozměrný případě se budu snažit upravit na
$\int_{a}^{b} $\int_{g_y(x)}^{G_y(x)} f(x,y) \mathrm{d} y$ \mathrm{d} x$ .
Z obrázku vidím, že integrační obor se promítá na osu x do intervalu $\[0,2\]$ a nachází se mezi grafy dvou runkcí: $g_y(x) = 0$ a $G_y(x) = \sqrt{4-x^2}$ , rovnou ty funkce m8m označené teď jako ty mezní. Taky je tady vidět, proč si chci y vyjádřit v závislosti na x: chci vlastně najít ty fce $g_y, G_y$ .

Pozor ale na případ, kdy pro různé podintervaly intervalu $\[a,b\]$ by byly mezní funkce $g_y, G_y$ různé, to je pak potřeba potom integrovat na každém podintervalu zvlášť a integrály pak sčítat. Tak například jednoduchý příklad $M=\{(x,y)\in\mathbb{R}: x+y\leq 1,y-x\leq1,y\geq-1\}$ .
Horní mezní fce $G_y$ je v tomto případě definována různými předpisy na podintervalech integrace podle x $\[-2,0\]$ a $\[0,2\]$ .

Je to zadáno schválně tak, aby se žádné průsečíky nemusely počítat, protože se znalostmi z analytické geometrie, potažmo z kreslení grafů funkcí z předpisu, je to všechno pěkně vidět. :-)

Sergejevicz

A v obecném n-rozměrném případě, kdy integrační obor sestává z bodů $(x_1,x_2,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ , bych integrál převáděl na následující tvar:
$\int_{a}^{b} \left(\int_{g_2(x_1)}^{G_2(x_1)} \left(\int_{g_3(x_1,x_2)}^{G_3(x_1,x_2)} \left(\int_{g_4(x_1,x_2,x_3)}^{G_4(x_1,x_2,x_3)} \right. \right. \right. \dots$
$\dots \left. \left. \left. $\int_{g_{n-1}(x_1,x_2,x_3,\dots,x_{n-2})}^{G_{n-1}(x_1,x_2,x_3,\dots,x_{n-2})} \(\int_{g_n(x_1,x_2,x_3,\dots,x_{n-2},x_{n-1})}^{G_n(x_1,x_2,x_3,\dots,x_{n-2},x_{n-1})} f(x_1,x_2,\dots,x_n) \mathrm{d} x_{n}$ \mathrm{d} x_{n-1}\) \dots \mathrm{d} x_4\right) \mathrm{d} x_3\right) \mathrm{d} x_2\right) \mathrm{d} x_1$ ,
kde $g_i, G_i$ jsou mezní funkce pro i-tou proměnnou, $i\in\{1,2,\dots,n\}$ .

Sergejevicz · 10. 01. 2016 19:35

Takže cíl, pardon, pokud už jsem to psal, je promítnout si M na osu x, tím získám meze pro x jako začátek a konec intervalu, který průmětem na x vznikl, a pak v případě dvourozměrném se snažím hledat y jako mezí funkce x, takže se vlastně dívám, mezi grafy jakých funkcí coby závislostí y na x se M nachází, no a ještě v třírozměném případě pak hledám, mezi jakými grafy funkcí proměnných x, y se nachází souřadnice z. Na tohle všechno je ale potřeba si M dobře naorientovat v souřadném systému, snažit se jeho povrchy interpretovat jako grafy nějakých funkcí a ještě ladit to, která funkce bude mít které proměnné.

Belfan · 29. 01. 2016 00:34

Ač se zpožděním, rád bych všem poděkoval za cenné rady.
Převážně však Sergejeviczovi. Budíž toto téma inspirací těm, kteří stejně jako já tápou v určování mezí integrálů.
Děkuji.

Je mi však líto, že neexistuje žádný jednodušší (mechanický, univerzální) postup pro určování mezí a vše se musí řešit velmi složitou cestou.

Rumburak · 29. 01. 2016 11:20

↑ Belfan:
Obecný princip sám o sobě JE jednoduchý a podle mne i dobře pochopitelný. To, co může být obtížné a složité,
je jeho aplikace na konkretní případ (když je složitá integrační množina případně integrovaná funkce).

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2016 01:38

Meze integrálu z nerovnic

#2 05. 01. 2016 09:05

Re: Meze integrálu z nerovnic

#3 05. 01. 2016 09:19

Re: Meze integrálu z nerovnic

#4 05. 01. 2016 09:25

Re: Meze integrálu z nerovnic

#5 05. 01. 2016 09:33 — Editoval Sergejevicz (10. 01. 2016 18:53)

Re: Meze integrálu z nerovnic

Belfan napsal(a):

#6 05. 01. 2016 10:22

Re: Meze integrálu z nerovnic

#7 05. 01. 2016 10:46

Re: Meze integrálu z nerovnic

#8 05. 01. 2016 11:43

Re: Meze integrálu z nerovnic

#9 05. 01. 2016 15:06 — Editoval Rumburak (06. 01. 2016 10:29)

Re: Meze integrálu z nerovnic

#10 05. 01. 2016 18:11

Re: Meze integrálu z nerovnic

#11 06. 01. 2016 10:11 — Editoval Rumburak (06. 01. 2016 16:06)

Re: Meze integrálu z nerovnic

#12 06. 01. 2016 19:44 — Editoval Belfan (06. 01. 2016 19:49)

Re: Meze integrálu z nerovnic

#13 08. 01. 2016 12:22 — Editoval Rumburak (08. 01. 2016 15:51)

Re: Meze integrálu z nerovnic

#14 08. 01. 2016 12:40

Re: Meze integrálu z nerovnic

Belfan napsal(a):

#15 09. 01. 2016 17:19 — Editoval Belfan (09. 01. 2016 17:21)

Re: Meze integrálu z nerovnic

#16 10. 01. 2016 17:31

Re: Meze integrálu z nerovnic

#17 10. 01. 2016 17:33

Re: Meze integrálu z nerovnic

#18 10. 01. 2016 17:34

Re: Meze integrálu z nerovnic

#19 10. 01. 2016 18:35

Re: Meze integrálu z nerovnic

Sergejevicz napsal(a):

#20 10. 01. 2016 19:06

Re: Meze integrálu z nerovnic

#21 10. 01. 2016 19:29 — Editoval Sergejevicz (10. 01. 2016 19:30)

Re: Meze integrálu z nerovnic

#22 10. 01. 2016 19:35

Re: Meze integrálu z nerovnic

#23 29. 01. 2016 00:34

Re: Meze integrálu z nerovnic

#24 29. 01. 2016 11:20

Re: Meze integrálu z nerovnic

Zápatí