Matematické Fórum

Hertas · 29. 01. 2016 00:24 — Editoval Hertas (29. 01. 2016 21:50)

Ahoj,

počítám trojrozměrný integrál metodou Monte Carlo. Integrovaná množina vypadá následovně:

$x^2 + y^2 + z^2 \le a^2$
$(x - \frac{a}{2})^2 + y^2 \le (\frac{a}{2})^2$
$|z| \le a$

analytickým výsledkem je $8(\frac{\pi}{6}-\frac{2}{9})a^3$

při použití metody vzorkování funkce dostávám přibližně správný výsledek (jedná se o metodu kdy vezmu přípustnou náhodnou veličinu a vypočtu hodnotu funkce v jejím bodě, výsledkem je $\frac{1}{n}\sum^{n}_{k=1}f(\xi_k)$ )

při použití "jednodušší" metody vzorkování oblasti ovšem dostávám špatné výsledky. Jedná se o metodu, kdy se omezím pouze na nějakou oblast a generuji náhodné veličiny, následně zkoumám, jestli "jsem" v dané funkci, nebo mimo ni. Výsledkem je $\frac{x*y*z}{n}\sum^{n}_{k=1}\chi(\xi_k)$ , kde $\chi(x)$ je rovno 1 pokud jsem se trefil, nebo 0 pokud jsem mimo a parametry $x, y, z$ omezují mou oblast, $x$ podle osy x, $y$ podle osy y, $z$ podle osy z.

díky symetrii se stačí omezit pouze na čtvrtinu celého průniku a $x, y, z$ tedy napočítávám následovně:
$x=a$
$y=a/2$
$z=a$

výsledek, který ovšem dostávám je správný, ale vynásobený jakousi konstantou rostoucí lineárně s $a$ . Nevidíte někdo v mém postupu chybu?
Děkuji

Rumburak · 29. 01. 2016 11:32

↑ Hertas:

Ahoj.

Integrál vypadá následovně:

Žádný integrál ale neuvádíš. Jde snad o to spočítat míru uvedené množiny, tj. integrál přes ní z "jedničky"?

Hertas · 29. 01. 2016 11:42 — Editoval Hertas (29. 01. 2016 21:49)

Ahoj,

omlouvám se za špatné vyjádření, samozřejmě máš pravdu :)

edit: chyba výpočtu je odhadem úměrná $\frac{a}{2}$ , což vypadá na nějakou chybu při výpočtu $\frac{x*y*z}{n}$

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2016 00:24 — Editoval Hertas (29. 01. 2016 21:50)

Integrál metodou Monte Carlo

#2 29. 01. 2016 11:32

Re: Integrál metodou Monte Carlo

#3 29. 01. 2016 11:42 — Editoval Hertas (29. 01. 2016 21:49)

Re: Integrál metodou Monte Carlo

Zápatí