Matematické Fórum

liamlim

Ahoj všichni! Odvodil jsem velmi zvláštní tvrzení, které na všech možných vstupních hodnotách, které zkouším, dává správné výsledky. Nedělám si ale iluze, že by bylo úplně 100%, jinak by z něj totiž asi vyplynula velká fermatova věta (to jsem nezkoušel, jen mi to tak na připadá, protože ty druhé odmocniny by vynutily aby vše pod nimi byla druhá mocnina- samozřejmě po zkrácení všeho, co mají společné.) .

Zadání:

Nalezněte čtveřici $a$ , $b$ , $c$ kladných reálných a $n$ přirozeného většího nebo rovno 3 takové, že splňují

$a^n+b^n = c^n$

a současně neplatí

$\sqrt{(4a^2b^2c^2 - a^2(b^2+c^2-a^2)^2)^n} + \sqrt{(4a^2b^2c^2 - b^2(a^2+c^2-b^2)^2)^n} = \sqrt{(4a^2b^2c^2 - c^2(a^2+b^2-c^2)^2)^n}$

(já jsem si odvodil, že z prvního plyne druhé... to by ale nemělo být možné. jak jsem již zmiňoval. V důkazu nemůžu najít chybu tak prosím o pomoc s nalezením protipříkladu, který mi snad ozřejmí, kde chybu hledat.) Můžu zítra napsat též postup "důkazu".

edit: pro velké hodnoty mi na počítači vychází nějaká odchylka. ale neumím říct, jestli to není vlivem zaokrouhlování, které má obrovský vliv u tak velkých čísel, doporučuji v takovém případě se podívat na řád jednotlivých odmocnin a odchylky. když už mi odchylka vyjde, třeba i vysoká, tak je o mnoho a mnoho řádů nižší, než je nejvyšší z odmocnin

check_drummer · 30. 01. 2016 14:58

↑ liamlim:
Ahoj, co znamená, že "z prvního plyne druhé"?
V čem spočívá tvé tvrzení - že taková a,b,c,n neexistují?

liamlim · 30. 01. 2016 15:33

↑ check_drummer:

Nevim ted na co presne mam reagovat. Pokud soucet a^n+b^n = c^n tak podle meho pro takova a, b, c, n vzdy plati ta rovnost s odmocninami

check_drummer · 30. 01. 2016 23:47

↑ liamlim:
Stále tomu nerozumím, abych to upřesnil, označme výroky:
T - reálná čísla a,b,c a n>2 splňují $a^n+b^n = c^n$
S - platí ta rovnost s odmocninami
V - velká Fermatova věta

Jaké impliakce tedy dle tebe pro uvedené výroky platí?

liamlim

↑ check_drummer:

Konečně můžu normálně odpovědět. Omlouvám se, neměl jsem přístup ke klávesnici a celkově jsem měl pro napsání srozumitelné odpovědi komplikované podmínky.

1) Já jsem odvodil pouze T --> S.

2) To, že by toto mohlo mít něco společného s VFV je právě to, proč si myslím, že (1) mám dokázané nějak "divně"- nevěřím tomu moc

3) Tu souvislost vidím v tom, že u $\sqrt{(4a^2b^2c^2 - a^2(b^2+c^2-a^2)^2)^n} + \sqrt{(4a^2b^2c^2 - b^2(a^2+c^2-b^2)^2)^n} = \sqrt{(4a^2b^2c^2 - c^2(a^2+b^2-c^2)^2)^n}$ máme rovnost ve tvaru $\sqrt{A} + \sqrt{B} = \sqrt{C}$ která má pro celočíselná řešení pouze tehdy, když po vydělení $NSD(A,B,C)$ máme druhé mocniny přirozených čísel. v našem případě by z toho ale vyplynulo, že existují $k,l,m$ taková, že $\sqrt{k^{2n}} + \sqrt{l^{2n}} = \sqrt{m^{2n}}$ neboli nalezli bychom jinou trojici $k,l,m$ (to, že je jiná se rozmyslí z tvaru čísel pod odmocninami). Neověřoval jsem, ale jsem přesvědčen, že by byla "MENŠÍ" než trojice $a,b,c$ přirozených (POZOR, ty reálná a,b,c jsem zmiňoval jen kvůli tomu, že těžko nalezneme přirozená $a,b,c$ splňující rovnost na kterých bychom si platnost implikace T --> S ověřili). To, že byla menší si myslím z důvodu, že každé z čísel - cyklickou záměnnou - $4a^2b^2c^2-a^2(b^2+c^2-a^2)$ je dělitelné číslem $NSD(a,b+c)\cdot NSD(b,a+c)\cdot NSD(c,a+b)$ jak se rozmyslí ze tvaru tohoto čísla. Ale říkám, neověřoval jsem si.

liamlim · 31. 01. 2016 12:59

Slíbil jsem, že napíši i odvození té implikace T-->S a třeba se dostaneme k tomu, jestli je správná, nebo ne. No první se rozmyslí, že jestli pro přirozená $a,b,c$ : $a^n+b^n = c^n$ pak $a$ , $b$ , $c$ tvoří strany trojúhelníku. Odsud a ze sinové věty dostaneme, že $\sin^n\alpha + \sin^n\beta = \sin^n\gamma$ kde $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ jsou úhly v trojúhelníku. Nyní vyjádříme z kosinové věty postupně $\cos\alpha$ , $\cos\beta$ , $\cos\gamma$ a dosadíme do této rovnosti. Snadno pak již dostaneme tvar, který jsem napsal.

check_drummer · 31. 01. 2016 15:15

liamlim napsal(a):
rovnost ve tvaru $\sqrt{A} + \sqrt{B} = \sqrt{C}$ která má pro celočíselná řešení pouze tehdy, když po vydělení $NSD(A,B,C)$ máme druhé mocniny přirozených čísel.

Ahoj, jak to?

liamlim

↑ check_drummer:

Označme NSD(A,B,C) jako D, pak zřejmě A = Dx, B = Dy, C =Dz pro nějaká čísla x,y,z taková, že existuje dvojice nesoudělných čísel (mezi x,y,z)

Tedy pokud $x,y$ je tato nesoudělná dvojice, pak
$\sqrt{x}+\sqrt{y} = \sqrt{z}$
$x+y + 2\sqrt{xy} = z$
Tedy $x$ , $y$ musí být druhé mocniny, protože jsou nesoudělná. Odsud i $z$ musí být druhá mocnina, jinak by $\sqrt{x}+\sqrt{y} = \sqrt{z}$ nemohlo platit.

Pokud je tato nesoudělná dvojice mezi $z$ a $x$ (s y je analogicky)

pak

$\sqrt{y} = \sqrt{z}-\sqrt{x}$
$y = z+x - 2\sqrt{xz}$

Stejný argument jako výše...

Edit: no teď jsem si všiml, že ten NSD musí vyjít tak, že ta trojice $k,l,m$ o které jsem mluvil, že by byla menší, by menší velmi těsně nebyla. Ona by totiž bylo $k=a$ , $l=b$ , $m=c$ . Tak konec toho všeho, tímto jsem si teď ověřil, že rovnost byla asi správná, jen je úplně na nic.