Matematické Fórum

ivalenta

Ahoj mohl by mi prosim nekdo napsat jak bude vypadat integral nejak mi to nejde mam zadane tyto plochy z=4 a z=12-x^2-y^2 dekuju

Rumburak

↑ ivalenta:

Ahoj.

Začněme rozborem úlohy. Plochou o rovnici $z = 4$ je jistá rovina, rovnicí $z=12-x^2-y^2$ je určena plocha
vzniklá rotací jisté paraboly okolo své osy totožné se součřadnicovou osou $z$ . Oblast $M$ ohraničená těmito plochami
(úseč rotačního paraboloidu) má vyjádření

$M := \{[x, y, z] \in \mathbb{R}^3 : 4 < z < 12-x^2-y^2\}$

Obrazně řečeno: je to jakýsi "kotlík s pokličkou" otočený "pokličkou" dolů.
Velikost povrchu této oblasti je rovna plošnému integrálu

$\iint_{\partial M} 1 \cdot \d S$ .

Jde o plošný integrál prvního druhu, $\partial M$ je hranice oblasti $M$ a skládá se ze dvou částí: jednou z nich je samotný "kotlík"
a druhou je "poklička".

ivalenta · 01. 02. 2016 14:40

↑ Rumburak: po to vyjadreni drzim krok ale nejak nevim meze a co mam integrovat dal jsem si to do polarnich souradnic tam mam $0\le fi \le 2\pi 0\le ró\le \sqrt{8}$ nevim jestli to je dobre

ivalenta · 01. 02. 2016 14:43

↑ Rumburak: po to vyjadreni drzim krok ale nejak nevim meze a co mam integrovat dal jsem si to do polarnich souradnic tam mam $0\le fi \le 2\pi 0\le ró\le \sqrt{8}$ nevim jestli to je dobre

Rumburak

Na ty polární souřadnice časem také dojde, ale předtím ještě bude vhodné převést plošné integrály
na integrály dvojrozměrné.

Integrál $A :=\iint_{\partial M} 1 \cdot \d S$ je součtem integrálů

$B :=\iint_{P} 1 \cdot \d S$ , $C :=\iint_{K} 1 \cdot \d S$ ,

kde $P$ je již zmíněná "poklička" a $K$ "kotlík".

$P$ je kruh v rovině $z = 4$ , jehož středem je bod $[0, 0, 4]$ a poloměrem číslo $8$ .
Jeho kolmým průmětem do roviny $z = 0$ je kruh $Q$ o nerovnici $x^2 + y^2 < 8$ . Nad tomto kruhem
máme tedy grafy funkcí $f(x, y) = 4$ ("poklička") a $g(x, y)=12-x^2-y^2$ ("kotlík"). Nyní je potřeba
použít větu pro výpočet plošného obsahu grafu funkce nad danou rovinnou oblastí (v našem případě nad kruhem $Q$ ),
což je onen převod plošného integrálu na dvojrozněrný (přes $Q$ ), v němž integrand bude odvozen z funkce $f$ resp. $g$ .

ivalenta

↑ Rumburak: ??? Mohl bys mi napsat jak bude vypadat ten integral s nezema?

Rumburak · 02. 02. 2016 10:21

↑ ivalenta:

Platí jeden obecný vzorec.

Pro obsah $S(U) := \iint_{U} \d S$ plochy $U$ v $\mathbb{R}^3$ určené rovnicí $z = u(x,y)$ ,
kde rovinný bod $[x, y]$ probíhá rovinnou oblast $M \subset \mathbb{R}^2$ a $u$ je hladká funkce, platí

$S(U) = \iint_{M} \sqrt{1 + $\frac{\partial u}{\partial x}$^2 + $\frac{\partial u}{\partial y}$^2} \d x \d y$ ,

pokud pravá strana má smysl.