Matematické Fórum

Sk1X1 · 01. 02. 2016 14:40 — Editoval Sk1X1 (01. 02. 2016 16:10)

Zdravím,
při počítání příkladů ke zkoušce jsem se dostal k několika příkladům u kterých si nejsem jistý, jak je spočítat.
Příklady na substituci:
$\int_{}^{}x\sin x^{2}+x^{2}\sin x^{3} = ... = \frac{\sin x^{3}}{3} - \frac{\cos x^2}{2} +c$ - vyřešeno... substituce $x^{2}$ a $x^{3}$
$\int_{}^{}\frac{1}{x^2+4} = ...=\frac{1}{2}arctg (\frac{x}{2}) + c$ - vyřešeno... vytknout $\frac{1}{4}$ a pak jen substituce $\frac{x}{2}$

A per partes:
$\int_{}^{}e^{-x}\sin x^{3} = ... = -\frac{1}{10}e^{-x}(\sin 3x + 3\cos 3x) + c$

Potřeboval bych poradit, jakou substituci použít, popřípadě jako úpravu před substitucí. Zkoušel jsem to několikrát počítat, ale nemůžu na to přijít.
A u per partes bych potřeboval poradit s postupem. Obecně vím, že per partes se používá při součinu a že díky derivování můžu zjednodušit ten výsledný integrál. Ale pokud mam kombinace $e^{x}$ a $\sin x$ , tak ten integrál stejně bude nakonec mít zase násobení a tudíž znovu perpartes. Nebo to tak není?

Předem díky za všechny rady.

Al1 · 01. 02. 2016 15:13

↑ Sk1X1:

Zdravím,

první integrál rozděl na součet dvou integrálů a pro první je substituce $x^{2}=t$ , pro druhý $x^{3}=u$

Sk1X1 · 01. 02. 2016 15:27

Joo, už to vidím. Díky moc za radu!

LukasM · 01. 02. 2016 15:42

↑ Sk1X1:
Ve druhém je potřeba ve jmenovateli vytknout 4ku, dát si ji před integrál a pak vhodnou (a zřejmou) substitucí převést integrál na tvar $\int \frac{1}{t^2+1} \mathrm{d}t$ , který je tabulkový.

Sk1X1 · 01. 02. 2016 16:10

To mě nenapadlo, díky moc, už jsem se dopočítal.

Jj · 01. 02. 2016 18:17 — Editoval Jj (01. 02. 2016 18:19)

↑ Sk1X1:

Zdravím.

Řekl bych, že třetí integrál má mít tvar $I=\int e^{-x} \sin 3x \, dx$

Lze řešit per partes - uplatnit 2x za sebou a výsledek (I) spočítat z lineární rovnice, k níž uvedený postup vede (chce to zkusit a "vidět").

Sk1X1 · 01. 02. 2016 19:31

Když zkusím udělat per partes tak dostanu:
D | I
$\mathrm{e}^{-x}$ | $\sin 3x$
$-\mathrm{e}^{-x}$ | $3\sin 3x$
$\mathrm{e}^{-x}$ | $9\sin 3x$

a na konci stejně tedy stejně zase zbude integrál $\int_{}^{}\mathrm{e}^{-x}\cdot 9\sin 3x$ .
Nebo ne?

Al1 · 01. 02. 2016 19:47

↑ Sk1X1:

$I=\int e^{-x} \sin 3x \, dx$ pomocí metody per partes :
$u=\mathrm{e}^{-x}, v^{\prime}=\sin 3x\nl u^{\prime}=-\mathrm{e}^{-x}, v=-\frac{1}{3}\cos (3x)$

Lze i uplatnit

$u=\sin (3x), v^{\prime}=\mathrm{e}^{-x}\nl u^{\prime}=-3\cos (3x), v=-\mathrm{e}^{-x}$

Jj · 01. 02. 2016 20:05

↑ Sk1X1:

Nepřepočítával jsem to. Mělo by vyjít "něco takového":

$\color{green}I\color{black}=\int e^{-x} \sin 3x \, dx = - e^{-x}(\sin 3x + 3\cos 3x) - 9\int e^{-x} \sin 3x \, dx = \color{green}-e^{-x}(\sin 3x + 3\cos 3x) - 9I\color{black}$

$\Rightarrow 10I = -e^{-x}(\sin 3x + 3\cos 3x) \Rightarrow I = \cdots$

Matematické Fórum

#1 01. 02. 2016 14:40 — Editoval Sk1X1 (01. 02. 2016 16:10)

Intregrály (substituce, per partes)

#2 01. 02. 2016 15:13

Re: Intregrály (substituce, per partes)

#3 01. 02. 2016 15:27

Re: Intregrály (substituce, per partes)

#4 01. 02. 2016 15:42

Re: Intregrály (substituce, per partes)

#5 01. 02. 2016 16:10

Re: Intregrály (substituce, per partes)

#6 01. 02. 2016 18:17 — Editoval Jj (01. 02. 2016 18:19)

Re: Intregrály (substituce, per partes)

#7 01. 02. 2016 19:31

Re: Intregrály (substituce, per partes)

#8 01. 02. 2016 19:47

Re: Intregrály (substituce, per partes)

#9 01. 02. 2016 20:05

Re: Intregrály (substituce, per partes)

Zápatí