Matematické Fórum

malarad · 01. 02. 2016 11:20

Ahoj, prosím o nápovědu k příkladu
$\int_{}^{}\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\ \ dx$

Rumburak

↑ malarad:

Ahoj.

Pomůže např. substituce $x = t^2, t \ge 0$ , možná i nějaká rafinovanější .

Před tím bych ještě provedl úpravu

$\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} = \frac{(1 + \sqrt{x}) - 1}{1+\sqrt{x}} = 1 - ...$

a převedl tak úlohu na rozdíl dvou integrálů.

malarad · 01. 02. 2016 14:19

↑ Rumburak:
díky, tedy vidím, že jsi použil u té úpravy trik přičtení a odečtení jedničky, dostal jsem se k počítání až teď

malarad · 01. 02. 2016 16:09

↑ Rumburak:
$\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} = \frac{(1 + \sqrt{x}) - 1}{1+\sqrt{x}} =$
$\int_{}^{}\frac{1+\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\ \ dx- \int_{}^{}\frac{1}{1+\sqrt{x}}\ \ dx$
$\int_{}^{}1\ \ dx-\int\frac{1}{1+\sqrt{x}}\ \ dx$

jak mám naložit s tím druhým integrálem? $\int\frac{1}{1+\sqrt{x}}\ \ dx$
$\int\frac{1}{1+\sqrt{x}}\ \ dx$
substituce
$x=t^{2}$
$\frac{dx}{dt}=2t$
$dx=\frac{dt}{2t}$

$\int\frac{1}{1+\sqrt{x}}\ \ dx$ = $\int_{}^{}\frac{1}{1+t}\ \ \frac{dt}{2t}\ \ dt$

Freedy · 01. 02. 2016 16:11

↑ malarad:
parciální zlomky ;-)

Jj · 01. 02. 2016 18:09

↑ malarad:

Dobrý den. Pozor, substituce ve 2. integrálu - řekl bych, že

$x = t^2\Rightarrow \color{red}dx = 2t \, dt\color{black} \ \ \Rightarrow \ \ \int\frac{1}{1+\sqrt{x}}\, dx \sim 2\int\frac{t}{1+t}\, dt$

a nejspíše znovu trik přičtení a odečtení jedničky.

malarad · 01. 02. 2016 18:52

↑ Freedy:
díky, ale koukám, že jsem provedl špatně substituci, má to být takto:
$x=t^{2}$
$\frac{dx}{dt}=2t$
$dx=2t$

malarad · 01. 02. 2016 18:53

↑ Jj:
děkuju, byl jste rychlejší, mě to bylo divný, že to nevychází, tak jsem začal na nový papír a porovnával...

malarad · 01. 02. 2016 20:06

Tak tedy celý příklad od začátku, protože mi vychází výsledek s opačnými znaménky, červeně je výsledek z učebnice.
Vím, že mi tam v mezivýpočtech chybí přepočítané meze pro neznámou $t$ , ale jelikož jsem tam meze dosazoval až při navrácení se k původním proměnným $x$ , tak by to nemělo mít na výsledek vliv. Ale nevím, proč mi vychází opačně znaménka
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-02/53524_Tkadlec%2B146-6-e.JPG

Al1 · 01. 02. 2016 20:16

↑ malarad:

Zdravím,

kam zmizelo t na konci druhého řádku v poslední úpravě při vytknutí čísla 2 před integrál?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

malarad · 01. 02. 2016 21:01

↑ Al1:
díky, tedy jsem užil vydělení polynomů, protože v čitateli a jmenovateli byl stejný řád, pak to vedlo na logaritmus. Výsledek je nyní správně

Matematické Fórum

#1 01. 02. 2016 11:20

Integrál

#2 01. 02. 2016 11:36 — Editoval Rumburak (01. 02. 2016 11:42)

Re: Integrál

#3 01. 02. 2016 14:19

Re: Integrál

#4 01. 02. 2016 16:09

Re: Integrál

#5 01. 02. 2016 16:11

Re: Integrál

#6 01. 02. 2016 18:09

Re: Integrál

#7 01. 02. 2016 18:52

Re: Integrál

#8 01. 02. 2016 18:53

Re: Integrál

#9 01. 02. 2016 20:06

Re: Integrál

#10 01. 02. 2016 20:16

Re: Integrál

#11 01. 02. 2016 21:01

Re: Integrál

Zápatí