Matematické Fórum

slender · 01. 02. 2016 15:52

Pokud chci dokázat trojúhelníkovou nerovnost:
$\lvert x+y\rvert\leq\lvert x\rvert+\lvert y\rvert$

Stačí, když to udělám takto?
$\text{Sporem:}\nl \text{položme: } y:=-x\nl \lvert x+(-x)\rvert>\lvert x\rvert+\lvert -x\rvert\nl 0>\lvert x\rvert+\lvert -x\rvert\nl 0>\lvert 2x\rvert\text{, což je spor s definicí absolutní hodnoty }(\lvert x\rvert=\max\{-x,x\})\text{. }\square$

Freedy · 01. 02. 2016 16:06

ahoj, to určitě nestačí,vždyť tys ji dokázal pouze pro opačná čísla.
Trojúhelníková nerovnost se dá dokázat různými způsoby, například rozlišíš případy kdy jsou x,y záporná a postupně odstraňuješ AH. Já mám asi nejradši tuto:

Obě strany jsou nezáporné. Lze tedy obě strany rovnice umocnit a jedná se o ekvivalentní úpravu.
$x^2+2xy+y^2\le |x^2|+|2xy|+|y^2|$
víme, že $|x^2|=x^2$ pro libovolné x reálné a tedy
$x^2+2xy+y^2\le x^2+|2xy|+y^2$
$2xy\le |2xy|$ nebo-li
$xy\le |xy|$ což je již zřejmé, že platí

slender · 01. 02. 2016 16:58

↑ Freedy:
Díky. :) Pak mě ještě napadlo tohle... Šlo by to?

$\lvert x\rvert=\max\{-x,x\}\nl\nl \text{Pak pro každé }x,y\in\mathbb{R}\text{:}\nl x\leq\lvert x\rvert\land -x\leq\lvert x\rvert\nl y\leq\lvert y\rvert\land -y\leq\lvert y\rvert\nl\nl \text{a tedy }x+y\leq\lvert x\rvert+\lvert y\rvert\land-x-y\leq\lvert x\rvert+\lvert y\rvert\nl\nl \text{Z definice }\lvert x+y\rvert=\max\{-x-y,x+y\}\text{, pak}\nl \lvert x+y\rvert\leq\lvert x\rvert+\lvert y\rvert$

Freedy · 01. 02. 2016 18:38

řekl bych, že v tom není žádný problém ;)

byk7 · 01. 02. 2016 21:51

Ahoj, při důkazu této nerovnosti je možné postupovat více způsoby.
Je taky možné rozmyslet jednotlivé případy pro $0\le x<y, x<y<0, x<0\le y$

Matematické Fórum

#1 01. 02. 2016 15:52

Důkaz trojúhelníkové nerovnosti

#2 01. 02. 2016 16:06

Re: Důkaz trojúhelníkové nerovnosti

#3 01. 02. 2016 16:58

Re: Důkaz trojúhelníkové nerovnosti

#4 01. 02. 2016 18:38

Re: Důkaz trojúhelníkové nerovnosti

#5 01. 02. 2016 21:51

Re: Důkaz trojúhelníkové nerovnosti

Zápatí