Matematické Fórum

MD · 01. 02. 2016 14:21

Dobrý den,
potřebuji pomoct s následujícím příkladem.

Zadání: řešte maticovou rovnici $AX=B$ kde A= 2 1 a B= 3 2
1 0 1 1

Vůbec nevím jak tento příklad řešit.

byk7 · 01. 02. 2016 15:09 — Editoval byk7 (01. 02. 2016 15:11)

Z rozměrů matic $A,B$ je zřejmé, že $X$ musí být taky typu 2x2. Máš teda možnost za $A,B,X$ dosadit na natvrdo roznásobit
$A\cdot X=B\Rightarrow\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ a dostaneš tak soustavu čtyř rovnic, kterou vyřešíš.

Další možností by bylo si uvědomit, že (nyní bez ohledu na rozměry matic) musí platit $A\cdot s_k(X)=s_k(B)$ pro všechna přípustná $k$ , kde $s_k(\cdot)$ značí $k$ -tý sloupec. Tedy stačí vzít blokovou matici z matic $A,B$ a pomocí elementárních řádkových úprav ji upravit do schodovitého tvaru, tj.
$(A|B)\overset{\text{EŘO}}\longrightarrow\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right|\ B'\ \bigg)$ a $s_1(X)=s_1(B'),s_2(X)=s_2(B')$

Edit.: A ještě je tu jedna možnost, najdeme inverzní matici (pokud existuje) k $A$ a celou soustavu jí vynásobíme zprava, tj. $A^{-1}AX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}\cdot B$ .