Matematické Fórum

marketa0007777 · 02. 02. 2016 02:13

Zdravím,potřebovala bych vysvělit u výpočtů plochy pomocí integrálů, co se odčítá od čeho.. Vím, že když je zadaná parabola př $x^{2}$ tak beru rovnici přímky mínus paraboly, když je zadaná obráceně, beru rovnici paraboly mínus rovnice přímky. Ale nevím, jak to udělat, pokud mám zadanou hyperbolu a přímku. Je v tom nějaké pravidlo? Děkuji

byk7 · 02. 02. 2016 03:00 — Editoval jelena (02. 02. 2016 09:04)

Nejjednodušší bude si situaci načrtnout. Pak od toho, co je "výš" odečítáme to, co je "níž".
Např. v této situaci (s obrázkem můžeš hýbat)

určíme průsečíky $x_1<x_2$ a hledaná plocha bude tvaru
$\int_{x_1}^{x_2}\big(\mathrm{hyperbola}(x)-\text{přímka}(x)\big)\,\d x$
Naopak tady

(opět určíme průsečíky $x_1<x_2$ ) a plochu máme ve tvaru
$\int_{x_1}^{x_2}\big(\text{přímka}(x)-\mathrm{hyperbola}(x)\big)\,\d x$

Jelena: edit pořadí obrázků

marketa0007777 · 02. 02. 2016 11:15

↑ byk7: jak by to teda bylo u hyperboly: y=1 + 4/x+2 a přímky: (6-x)/2

marketa0007777 · 02. 02. 2016 11:19

↑ byk7: ta hyperbola je takto: $1 + \frac{4}{x+2}$

Rumburak · 02. 02. 2016 11:47

↑ marketa0007777:

Ahoj.

I. Základní pravidlo: Je-li funkce $f$ kladná a spojitá na intervalu $\langle a, b\rangle$ , potom obsah obrazce ohraničeného
- zdola úsečkou s krajními body $[a, 0] , [b, 0]$ (tedy na ose x),
- shora křivkou grafu funkce $f$ nad intervalem $\langle a, b\rangle$ (tedy s krajními body $[a, f(a)], [b, f(b)]$ ),
- zleva úsečkou s krajními body $[a, 0], [a, f(a)]$ ,
- zprava úsečkou s krajními body $[b, 0], [b, f(b)]$

(nakresli si obrázek) je roven

$\int_a^b f(x) \d x$ .

II. Jestliže je na intervalu $\langle a, b\rangle$ dána další spojitá kladná funkce $g$ taková, že $g < f$ , a máme spočítat
obsah obrazce ohraničeného (nyní již stručněji)
- zdola grafem funkce $g$ ,
- shora grafem funkce $f$ ,
- zleva odpovídající úsečkou na přímce $x = a$ ,
- zprava odpovídající úsečkou na přímce $x = b$

(opět si nakresli obrázek), pak to znamená de facto spočítat rozdíl obsahů jistých dvou obrazců, přesněji:

$\int_a^b f(x) \d x - \int_a^b g(x) \d x$ ,

který je podle věty o aditivitě integrálu roven

$\int_a^b (f(x) - g(x)) \d x$ .

III. Posunutím geometrického obrazce se nezmění jeho obsah. Speciálně to platí, když obrazec z kroku II posuneme
ve směru souřadnicové osy y ať již směrem "nahoru" či směrem "dolů" . Ve druhém případě se může stát, že z původní
funkce $g$ se při takovém posunutí stane funkce, která už nebude kladná a totéž se může stát i s funkcí $f$ . Předpoklad,
že funkce $f, g$ jsou nezáporné, který jsme zavedli pouze pro názornost výkladu, tedy není podstatný. Podstatný je
pouze předpoklad $g < f$ , který může být nanejvýše zmírněn na $g \le f$ (nakresli si obrázek).