Matematické Fórum

Martin123

prosim Vas nerozumiem preco v metode secnic plati $x_{1}=\frac{b f(a)-a f(b)}{f(a)-f(b)}$ ? Pouzit ju viem ale rad by som jej porozumel do hlbky, dakujem.

jelena · 29. 01. 2016 22:21

Zdravím,

můžeš upravit "zpět" $x_{1}=\frac{b f(a)-a f(b)}{f(a)-f(b)}$ k $x_{1}(f(a)-f(b))=b f(a)-a f(b)$ a dál, abys dostal do poměru hodnoty funkcí a také do poměru tomu odpovídajících úseků na ose x. Což by mělo navazovat na podobnost trojúhelníků využitých pro odvození.

Jen nejsem si jistá, zda je toto přesně metoda sečen, přidej, prosím, obrázek z odkazu. Děkuji.

Martin123

v knihe je to oznacene ako metoda secen, co ine by to mohlo byt? na wikipedii je toto https://cs.wikipedia.org/wiki/Metoda_se%C4%8Den
ale mam pocit ze toto je skor asi metoda secen.

ten vyraz viem upravit nanajvis na tvar $f(a)(x_{1}-b)-f(b)(x_{1}-a)=0$ co dalej?

jelena · 31. 01. 2016 21:33

↑ Martin123:

děkuji (i za hlášení v tématu o komplexních číslech). Spíš mi to přijde jako odvození pro "regula falsi", ale obrázek by měl být hodně podobný. $f(a)(x_{1}-b)-f(b)(x_{1}-a)=0$ dál $f(a)(x_{1}-b)=f(b)(x_{1}-a)$ a $\frac{f(a)}{f(b)}=\frac{(x_{1}-a)}{(x_{1}-b)}$ (a toto bys měli vidět jako podobnost trojúhelníku pro první krok metody). Souhlasí? Děkuji.

Martin123 · 02. 02. 2016 13:59

podobnost trouholnika? vobec v tom ziadnu podobnost nevidim.

Rumburak

↑ Martin123:

Ahoj.

Mějme na intervalu $\langle a, b \rangle$ spojitou funkci $f$ takovou, že $f(a)f(b) < 0$ , tj. $f(a), f(b)$ jsou
nenulová čísla různých znamének. Potom podle Bolzanovy věty existuje $z \in (a , b)$ takové, že

(1) $f(z) = 0$ .

Geometricky řečeno: graf funkce $f$ protíná osu $x$ v nějakém bodě $z \in (a , b)$ .

Metoda sečen slouží k přibližnému řešení rovnice (1) za výše uvedených předpokladů.

Začneme tím, že vezmeme přímku $p$ procházejíci body $[a, f(a)] , [b, f(b)]$ . Její rovnice bude mít tvar

(2) $y= \frac{f(b) - f(a)}{b-a} (x-a) + f(a)$ .

Položíme zde $y = 0$ a řešíme takto vzniklou rovnici pro neznámou $x$ . Jejím kořenem bude

$x_1 = - \frac{f(a)(b-a)}{f(b) - f(a)} + a = \frac{-f(a)(b-a) + a(f(b) - f(a))}{f(b) - f(a)} = ...$ .

Zřejmě $x_1 \in (a, b)$ , takže jsme získali první přiblížení k (některému) kořenu rovnice (1).

Když $f(x_1) = 0$ , máme přímo kořen rovnice (1). Pokud ne, pak je buďto $f(x_1) > 0$ nebo
$f(x_1) < 0$ , takže určitě jeden z intervalů $\langle a, x_1 \rangle$ , $\langle x_1 , b\rangle$ má tu vlastnost, že v jeho krajních bodech
nabývá funkce $f$ nenulových hodnot různých znamének. Tento interval pak vezmeme jako základ pro další krok
iteračního cyklu.

jelena · 02. 02. 2016 20:52

Zdravím,

↑ Martin123: podobnost trojúhelníků je jen variace na sestavení rovnosti přímky (v našem označení již pro první hodnotu na ose x) - viz kolega ↑ Rumburak:, kterého zdravím. Máme trojúhelníky $\Delta F_AX_1X_A$ a $\Delta X_1X_BF_B$ (na ose x leží první odhad řešení bod $X_1$ , bod $X_A$ odpovídá levé hranice intervalu ( $a$ ) a je na ose $x$ , bod $F_A$ odpovídá hodnotě funkce $f(x)$ v bodě $a$ , obdobně pro druhý trojúhelník). Situace bude zřejmá, pokud si nakreslíš dle popisu kolegy ↑ Rumburak: a k tomu doplníš ještě mé označení. Sestrojení nepopisuje samotný princip metody, jen odvození.

Diskuse s kolegou ale bude mít větší přínos, tak se tomu, prosím, věnuj a opět do budoucna využij.

↑ Rumburak: $f(a)f(b) < 0$ - vyžaduje tento předpoklad také metoda sečen? Nebo až "regula falsi"? Děkuji.