Matematické Fórum

k.niccy@seznam.cz · 18. 04. 2009 13:20

Ahoj,prosím o pomoc s tímto důkazem.
(10na n)-1)/81+n/9 je celé číslo.
Děkuji

lukaszh · 18. 04. 2009 13:37

↑ k.niccy@seznam.cz:
Doplň zadanie, pretože dokazovať možno len niečo, čo predpokladáme, že je pravdivé. Stačí si dosadiť n = 1 a to nevychádza celé číslo.

Marian · 18. 04. 2009 13:53

↑ lukaszh:
Tvrzení je správné pro všechna přirozená čísla n, přičemž tvrzení se musí změnit pouze tak, že se má dokazovat celočíselnost výrazu
$\frac{10^n-1}{81}-\frac{n}{9}.$

Trefil jsem to? ... (dotaz na ↑ k.niccy@seznam.cz:)

k.niccy@seznam.cz · 18. 04. 2009 14:05

ano,trefil si to,má to být dokazováno pro přirozen čísla.

lukaszh · 18. 04. 2009 14:16

↑ k.niccy@seznam.cz:
Tu nešlo o prirodzené čísla (to som si domyslel) ale išlo o to + / -. Teraz stačí ukázať, že
$\forall n\in\mathbb{N}\,:\;81\,|\,10^n-9n-1$
Čo vyplýva z úpravy na spoločného menovateľa tých dvoch zlomkov.

halogan · 18. 04. 2009 14:24

$\frac{10^k - 1}{81} - \frac k9 \nl \frac{10^{k+1} - 1}{81} - \frac {k+1}{9} \nl \frac{10^k \cdot 10 - 1}{81} - \frac {k}{9} - \frac19 \nl \frac{9\cdot 10^k + 10^k - 1}{81} - \frac {k}{9} - \frac19 \nl \frac{9\cdot 10^k}{81} + \boxed{\frac{10^k - 1}{81} - \frac {k}{9}} - \frac19 \nl \frac{9\cdot 10^k - 9}{81} + \boxed{\cdots} \nl \frac{10^k - 1}{9} + \boxed{\cdots}$

Teď bych se asi vrátil k přepokladu, že $\frac{10^k - 1}{81} - \frac k9$ je celé číslo. To pak vynásobim 9, vyjde mi, že $\frac{10^k - 1}{9} - k = 9\cdot C$ , takže $\frac{10^k - 1}{9} = 9 \cdot C + k$

Protože to dokazujeme pro přirozená čísla, tak vidíme, že 9x celé číslo + přirozené číslo bude opět celé číslo.