Matematické Fórum

janusz · 02. 02. 2016 23:59

Ahoj, mám kapku problém s následujícím integrálem
$\int_{}^{}\int_{}^{}e^{x^{2}+y^{2}}dxdy$
Na mnozine $M = (x;y); x\ge 0 \wedge x^2+y^2\le 1$ . Vím,ze je nejlepší ho převést do polárních souřadnicích, ale mám trochu problém určit hranice integrálu. Muže mi tu někdo pes naznačit jak na to.

Al1 · 03. 02. 2016 08:26

↑ janusz:

Zdravím,
máš oblast M namalovanou?
$x^2+y^2\le 1$ je kruh se středem [0; 0] o poloměru 1 a s podmínkou $x\ge 0$ máme polovinu kruhu napravo od osy y. V polárních souřadnicích poloměr probíhá od 0 do 1 a úhel od -pi/2 do pi/2

janusz · 03. 02. 2016 09:03

↑ Al1:

ahoj,

jo, ta oblast je mi víceméně jasná, jde mi o to že v polárách to integruju podle $\varphi$ a podle r.
chápu, že pro $\varphi$ je to <-pi/2;Pi/2> ale nejsem si jistej, jak definovat meze při integraci podle r. Předpokládám, že je musím vyjádřit nějak v závislosti na $\varphi$

doufám, že to nepopisuju moc chaoticky.

H

Al1 · 03. 02. 2016 09:14 — Editoval Al1 (03. 02. 2016 09:19)

↑ janusz:

Pro poloměr platí $0\le r\le 1$

Při přechodu na polární ouřadnice zkoumáš, jak souřadnice x a y závisí na poloměru a úhlu. Nehledáš závislost poloměru na úhlu.

janusz · 03. 02. 2016 10:25

↑ Al1:

ok, a mohl bys mi prosím naznačit řešení? po integraci podle r mi vychází $\mathrm{e}^{r^{2}}$ ale po dosazení mezí a integraci podle $\varphi$ mi vychází nměco jako $\frac{\pi }{2}*(\mathrm{e}-1)$ .

výsledek má být ale -2

děkuju za trpělivost.

Jj · 03. 02. 2016 11:52

↑ janusz:

Dobrý den.

Podle mě jste počítal dobře - výsledek $\frac{\pi }{2}\cdot (\mathrm{e}-1)$ je správný.

Wolfram dává stejný výsledek i v kartézských souřadnicích: Odkaz

Výsledek ani nemůže být záporný (uvádíte -2), takže problém je v něčem jiném.

Al1 · 03. 02. 2016 12:25

↑ janusz:

Potvrzuji výsledek $\frac{\pi }{2}\cdot (\mathrm{e}-1)$ vypočítaný z integrálu

$\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(\int_{0}^{1}r\cdot \mathrm{e}^{r^{2}}\ dr\right) \d\varphi$

janusz · 03. 02. 2016 13:30

↑ Al1:
aha, tak je asi chyba v knížce. dekuju za pomoc.

Matematické Fórum

#1 02. 02. 2016 23:59

Dvojných integral

#2 03. 02. 2016 08:26

Re: Dvojných integral

#3 03. 02. 2016 09:03

Re: Dvojných integral

#4 03. 02. 2016 09:14 — Editoval Al1 (03. 02. 2016 09:19)

Re: Dvojných integral

#5 03. 02. 2016 10:25

Re: Dvojných integral

#6 03. 02. 2016 11:52

Re: Dvojných integral

#7 03. 02. 2016 12:25

Re: Dvojných integral

#8 03. 02. 2016 13:30

Re: Dvojných integral

Zápatí