Matematické Fórum

Vickey · 02. 02. 2016 20:05 — Editoval Vickey (02. 02. 2016 20:06)

Dobrý den,

zajímalo by mě jak poznám jestli je tato funkce spojitá nebo nespojitá?
limita x → $\pi$
$lim \frac{cos^{2} - 3cosx -4}{cos^{2} - 4cosx - 5}$

Vím, že si za x dosadím pí a dole mi tím pádem vyjde 0 znamená to tedy, že je nespojitá a mám počítat dál? Vím, jak pokračovat dál, jen mě zajímá jak poznat tu spojitou/nespojitou.

Děkuji

Sherlock

Pokud je funkce spojitá v bodě $a$ , platí $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ .

Pokud $f(a)$ není definováno, funkce pak v tomto bodě spojitá není :)
(takže máš pravdu, tvoje funkce v tom bodě není spojitá)

Vickey · 03. 02. 2016 08:30

↑ Sherlock:

Dobře děkuji za odpověď a ještě pro upřesnění, když není fce definována, tak to znamená, že nemá smysl - tedy že ve jmenovateli je 0?

Rumburak

↑ Vickey:

Ahoj.

Je to trochu obecnější, jak se pokusím vysvětlit.

Funkci $f$ si lze představit jako množinu určitých uspořádaných dvojic $[x, y]$ , splňující podmínku

$([x, y_1] \in f \wedge [x, y_2] \in f ) \Rightarrow y_2 = y_1$ .

(V teorii množin je pojem funkce přímo takto definován.)

Je-li tedy $f$ funkce, pak prvek $y$ v usp. dvojici $[x, y] \in f$ je jednoznačně určen prvkem $x$ , což
zapisujeme ve tvaru $y = f(x)$ .

Že funkce $f$ JE definována v daném "bodě" $a$ znamená, že (k němu) existuje $y$ takové, že

(1) $[a, y] \in f$

(a jak psáno výše, takové $y$ je nejvýše jediné).

Naopak tedy funkce $f$ NENÍ definována v daném bodě $a$ , pakliže $y$ splňující (1) neexistuje.

Tolik obecná teorie .

Funkce jsou často zadávány funkčním předpisem $f(x) := ...$ , tj. PRAVIDLEM, jak k prvku $x$ určit $f(x)$ ,
čili druhý prvek usp. dvojice $[x, y] \in f$ . Je-li $b$ takové, že uvedené pravdlo NELZE na $x = b$ použít,
říkáme, že funkce $f$ není definována v bodě $b$ .
Překážky v použitelnosti PRAVIDLA na konkretní prvek $b$ mohou být různé:
- nelze dělit nulou,
- sudou odmocninou ze záporného čísla nelze získat číslo reálné,
- nelze logaritmovat nulu a v reélném oboru ani záporná čísla
aj.