Matematické Fórum

hauli · 03. 02. 2016 17:41

Ahoj, nevěděl by někdo, jak spočítat pravděpodobnostní vytvořující funkci negativně binomického rozdělení? Jde mi o sumu $\sum_{n=0}^{\infty }(r^n \cdot \text{(-h nad n)}\cdot p^h\cdot (p-1)^n$ kde -h nad n je kombinační číslo... dostalo se z obyčejného kombinačního čísla (n+h-1 nad n) částečným vykrácením, otočením znamének v čitateli a přepsáním na tohle zvěrstvo, které by ale mělo pomoct při výpočtu sumy...

Výsledek by měl být $(\frac{p}{1-r\cdot (1-p})^h \text{ pro } |r|<=\frac{1}{1-p}$

Děkuju moc :)

Bati · 03. 02. 2016 23:32 — Editoval Bati (03. 02. 2016 23:32)

Ahoj,
z toho, co píšeš dedukuju, že tvá pravděpodobnostní funkce vypadá takhle:
$f(n)=\binom{n+h-1}{n}p^h(1-p)^n$ .
Asi budeš znát zobecněný binomický koeficienty:
$\binom{x}{m}=\frac{x(x-1)\ldots(x-m+2)(x-m+1)}{m!}$ , kde $x\in\mathbb{R}$ .
Potom ale můžeš udělat následující trik:
$\binom{n+h-1}{n}=\frac{(h+n-1)(h+n-2)\ldots(h+1)(h)}{n!}\nl =(-1)^n\frac{(-h)(-h-1)\ldots(-h-n+2)(-h-n+1)}{n!}=(-1)^n\binom{-h}{n}$ .
Dále bys měla vědět, že Taylorův rozvoj funkce $(1+x)^{\alpha}$ funguje pro $x\in(-1,1)$ a $\alpha\in\mathbb{R}$ (dokonce i komplexní). Z toho všeho už snadno dostaneš, že
$G(r)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+h-1}{n}p^h(1-p)^nr^n =p^h\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-h}{n}(-(1-p)r)^n =p^h(1-(1-p)r)^{-h}=\left(\frac{p}{1-(1-p)r}\right)^h$ ,
pro $|(1-p)r|<1$ .

hauli · 04. 02. 2016 08:15

↑ Bati: Děkuju moc, ten hint s Taylorem jsem přesně potřebovala, ještě jednou díky :)

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2016 17:41

součet sumy s kombinačním číslem

#2 03. 02. 2016 23:32 — Editoval Bati (03. 02. 2016 23:32)

Re: součet sumy s kombinačním číslem

#3 04. 02. 2016 08:15

Re: součet sumy s kombinačním číslem

Zápatí