Matematické Fórum

5tudentka · 04. 02. 2016 11:35

Ahoj,
nějak se potýkám s touhle limitou, na dvě limity si to rozdělit nemůžu, protože pak by mi vyšel nedefinovaný součin $\infty\cdot0$ .

$\lim_{x\to+\infty}{x^2\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{arctg}(x^2+1)\right)}$

Poradil by mi s tím někdo, prosím?

Brano · 04. 02. 2016 11:38 — Editoval Brano (04. 02. 2016 11:39)

${x^2\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{arctg}(x^2+1)\right)}=\frac{\frac{\pi}{2}-\mathrm{arctg}(x^2+1)}{x^{-2}}="\frac{0}{0}"$ a dalej L'Hopital

Sergejevicz · 04. 02. 2016 11:51

↑ Brano:
Vsadím deset piv, že se to má dělat bez L'Hospitala.

van Thomas

Ahoj, i bez l'Hospitala snadno. Pro $x>0$ platí $\mathop{\mathrm{arctg}}x+\mathop{\mathrm{arctg}}\frac1x=\frac\pi2$ , takže
$\lim_{x\to+\infty}{x^2\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{arctg}(x^2+1)\right)}$
$=\lim_{x\to+\infty}{x^2\mathop{\mathrm{arctg}}\frac1{x^2+1}}$
$=\lim_{x\to+\infty}{\frac{\mathop{\mathrm{arctg}}\frac1{x^2+1}}{\frac1{x^2+1}}}\frac{x^2}{x^2+1}=?$
:)

Sergejevicz · 04. 02. 2016 12:12

Já bych šel cestou, že bych si uvědomil (odvodil), že závorka je $\mathrm{arccot}(x^2+1)$ , pak bych použil substituci $\cot z = x^2 + 1$ - pozor na odůvodnění např. pomocí prostoty, tím se dostaneme ke goniometrickým funkcím a s tím bych pak dál pracoval tak, abych v tom našel základní limitu sin(x)/x v nule apod., případně bych využil rovnosti $\cos x = \sin(\pi/2-x)$ .

Freedy · 04. 02. 2016 12:12

↑ 5tudentka:
Ahoj staci si to prepsat jako
$(x^{2}+1)\bigg(\frac{\pi}{2}-arctg(x^{2}+1) \bigg) \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}+1}$
A vyuzit vetu o limite slozene funkce, aritmetiku limit a znamou limitu

5tudentka

Tak jsem to nakonec vyřešila pomocí toho l'Hospitala, přišlo mi to nejjednodušší. :) (Je to úloha z písemky, kterou jsem pokazila, žádné omezení postupu tam nebylo.)

Díky za pomoc. :)

Matematické Fórum

#1 04. 02. 2016 11:35

výpočet limity typu ∞⋅0

#2 04. 02. 2016 11:38 — Editoval Brano (04. 02. 2016 11:39)

Re: výpočet limity typu ∞⋅0

#3 04. 02. 2016 11:51

Re: výpočet limity typu ∞⋅0

#4 04. 02. 2016 12:08 — Editoval van Thomas (04. 02. 2016 12:10)

Re: výpočet limity typu ∞⋅0

#5 04. 02. 2016 12:12

Re: výpočet limity typu ∞⋅0

#6 04. 02. 2016 12:12

Re: výpočet limity typu ∞⋅0

#7 04. 02. 2016 12:37 — Editoval 5tudentka (04. 02. 2016 12:38)

Re: výpočet limity typu ∞⋅0

Zápatí