Matematické Fórum

Frikulin1 · 04. 02. 2016 16:57

Zdravím,
potřebovala bych poradit s výpočtem oboru hodnot cyklometrické funkce
$y=1-arccos(2^{x})$

Definiční obor je: $D(f)=(-\infty;0\rangle$

Inverzní funkce: $y=\log_{2}(\cos(1-x))$

Výsledný obor hodnot má být: $(1-\frac{\pi }{2};1\rangle$

Mě zatím vyšlo: $(1-\pi /2;1+\pi/2)$

Asi mi tam chybí nějaký krok, ale nemohu přijít na to který...

Sergejevicz · 04. 02. 2016 17:54

Problém je ve snaze funkci invertovat. To není prvek obecné cesty, jak se dobrat oboru hodnot - fce nemusí totiž být invertabilní. Inverze v tomto případě existuje, protože fce je prostá (exponenciální funkce roste, arccos pak tedy klesá, jeho záporně vzatá hodnota tedy naopak roste a součet s jedničkou taktéž), ale inverze pak není definována na -pi/2 až pí/2, jak bylo nejspíš zamýšleno - z důvodu čistě požadavku kladnosti argumentu logaritmu, ale jen meni 0 a pí/2. Proč?

lepší je jít na to bez inverze. Nejprv zobrazujeme exponenciální funkcí. Aby byl arccos definován, omezili jsme se na nekladná x, pak totiž exp. fce zobrazuje na (0,1], arccos pak tedy zobrazuje jen z (0,1], jeho obraz je pak tedy pouze [0,pí/2) a ne [0,pi], v tom je ten háček. Dále zkus sama :-).

Sergejevicz · 05. 02. 2016 11:17

A to se mi ještě zdá, jestli se do chybného výsledku $(1-\pi /2;1+\pi/2)$ nějak nepřipletlo to, že jsi si spletla arccos s arcsin :-).

Matematické Fórum

#1 04. 02. 2016 16:57

Obor hodnot cyklometrické funkce

#2 04. 02. 2016 17:54

Re: Obor hodnot cyklometrické funkce

#3 05. 02. 2016 11:17

Re: Obor hodnot cyklometrické funkce

Zápatí