Matematické Fórum

Petra2014 · 04. 02. 2016 21:39

Ahojte,

prosim vas spravne pocitam v tejto ulohe?

Martin si pamata 3 znaky svojho 4-miestneho hesla. Su to: 2,a,b. Zvysny znak je jedno z cislic 2,5,6,8. Kolko je takych vsetkych moznosti Martinovho hesla?

4!*4 ?

Dakujem

Al1 · 04. 02. 2016 21:45

↑ Petra2014:

Zdravím,

když máš znaky: 2,a,b, 5 nebo 2,a,b, 6 nebo 2,a,b, 8, pak tvůj výpočet pomocí 4! je dobře, ale jakmile máš 2,a,b, 2,

tak jsou přece některé permutace shodné.

Petra2014 · 04. 02. 2016 22:07

↑ Al1:

2,a,b,2 je to iste ako 2,2,,a,b?

Al1 · 04. 02. 2016 22:17

↑ Petra2014:

To určitě ne, ale když máš 2,a,b, 5 a prohodíš první a poslední člen, máš 5,a,b,2. Když totéž uděláš pro 2,a,b, 2 (prohodíš první a poslední člen) máš stále to samé.

marnes · 04. 02. 2016 22:21

↑ Petra2014:

$ABCD$ tam problém není

Jde o to, že když by bylo $A_{1}BCA_{2}$ , tak ty áčka rozlišuji a situace $A_{1}BCA_{2}$ a $A_{2}BCA_{1}$ jsou dvě různé. Když tam ale nebudou indexy, tak z těch dvou možností bude jen jedna $ABCA$ a záměna prvního za poslední písmeno není jiná možnost

Petra2014 · 04. 02. 2016 22:26

aha, cize takch rovnakych je 12 moznosti...22ab, 2ab2...

takze riesenie je 4!*4-12=84?

Al1 · 04. 02. 2016 22:28

↑ Petra2014:

Nebo $3\cdot 4!+\frac{4!}{2}$ .

Petra2014 · 04. 02. 2016 22:53

↑ Al1:t

a ako interpretovat tento zapis? co to vyjadruje? preco napr. 4!/2?

marnes · 04. 02. 2016 23:06

↑ Petra2014:
4! je kdyby jsme ačka mohli rozlišit $A_{1}BCA_{2}$ jelikož áčka rozlišit nemůžeme, tak protože tam jsou dvě, tak musíme 2! možnostmi dělit, kdyby byly tři, tak 3!

$A_{1}A_{2}A_{3}$
$A_{1}A_{3}A_{2}$
$A_{2}A_{1}A_{3}$
$A_{2}A_{3}A_{1}$
$A_{3}A_{1}A_{2}$
$A_{3}A_{2}A_{1}$ to je kdyby se áčka rozlišovala = 3!

ale protože mohou být stejná, tak těchto 3! možností bude jen jedna $AAA$

Jinak je to učivo permutace s opakováním

Al1 · 05. 02. 2016 14:16

↑ Petra2014:

$3\cdot 4!$ je počet permutací tvořených pevně danými prvky 2, a, b a prvky 5, 6, 8, které předchozí doplní na čtyřmístené heslo.
$\frac{4!}{2}$ je počet permutací s opakováním, neboť máš prvky a, b a prvek 2 se vyskytuj dvakrát. Jak jsem již vysvětloval:

Al1 napsal(a):
když máš 2,a,b, 5 a prohodíš první a poslední člen, máš 5,a,b,2. Když totéž uděláš pro 2,a,b, 2 (prohodíš první a poslední člen) máš stále to samé.

Hesla $\color{red}2\color{black}ab\color{blue}2$ a $\color{blue}2\color{black}ab\color{red}2$ jsou stejná. Takže ze čtyř různých prvků bez opakování vytvoříš 4! permutací, jenže tady jsou dva prvky stejné, takže těch permutací bude jen polovina. Proto $\frac{4!}{2}$
Jinak můžeš použít i vzorec pro permutace s opakováním

$P^{\prime}_{(k_{1}, k_{ 2},\ldots,k_{n})}(n)=\frac{n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdot \ldots \cdot k_{n}!}$

$P^{\prime}_{(1, 1, 2)}(4)=\frac{4!}{1!\cdot 1!\cdot 2!}$

Petra2014 · 06. 02. 2016 12:38

Dakujem vsetkym velmi pekne, uz mi to je jasne :)

Matematické Fórum

#1 04. 02. 2016 21:39

kombinatorika

#2 04. 02. 2016 21:45

Re: kombinatorika

#3 04. 02. 2016 22:07

Re: kombinatorika

#4 04. 02. 2016 22:17

Re: kombinatorika

#5 04. 02. 2016 22:21

Re: kombinatorika

#6 04. 02. 2016 22:26

Re: kombinatorika

#7 04. 02. 2016 22:28

Re: kombinatorika

#8 04. 02. 2016 22:53

Re: kombinatorika

#9 04. 02. 2016 23:06

Re: kombinatorika

#10 05. 02. 2016 14:16

Re: kombinatorika

Al1 napsal(a):

#11 06. 02. 2016 12:38

Re: kombinatorika

Zápatí