Matematické Fórum

Mazarini · 06. 02. 2016 22:52

Dobrý den,

Celkem dlouho už si tu lámu hlavu s příkladem:
Počet čtyř členných variací je trojnásobkem počtu trojčlenných variací z téže množiny prvků. Kolik prvků má tato množina?

Ať dělám co můžu, nedopracuji se svými výpočty v rovnici: V( 4,n )=3⋅V( 3,n )

jejíž výsledek po rozložení je 6 (alespoň podle výsledků):

n⋅( n−1 )⋅( n−2 )⋅( n−3 )=3⋅n⋅( n−1 )⋅( n−2 )
K samotnému rozložení rovnice se dostanu, ale vypočítat ji s výsledkem, který je v řešení se mi ještě nepovedlo..
Mohl by zde ,prosím, někdo být té ochoty a trpělivosti v sepsání celého postupu příkladu, abych se v tom našel ?

Moc Děkuji.

Al1 · 06. 02. 2016 23:05

↑ Mazarini:

Zdravím,

stačí rovnici vynulovat a provést rozklad na součin.

zdenek1 · 06. 02. 2016 23:10

↑ Mazarini:
Ani to není nutné rozkládat.
Rovnici řešíš v množině přirozených čísel a ještě navíc musí být $n\ge4$
Všechny činitelé v rovnici jsou kladná čísla, takže je můžeš klidně pokrátit
zůstane
$n-3=3$

Mazarini · 07. 02. 2016 00:28

↑ zdenek1:

Děkuji..

A můžete mi tedy prosím říct co dělám špatně ?

misaH · 07. 02. 2016 07:50 — Editoval misaH (07. 02. 2016 08:00)

↑ Mazarini:

Načo si to preboha roznásoboval? A ešte takým spôsobom... keby si aspoň zlučoval členy, čo sa zlúčiť dajú.

V poslednom riadku si zle pracoval s $n$ , $-6n-6n\neq0$

Byť tvoja učiteľka, čítať to nebudem a rovno škrtám.

Keď už, tak (podľa rady od Al1 - zdravím) anulovať atď, keď teda sa nemieniš zamyslieť nad radou od Zdenka...

$\color {red}n(n-1)(n-2)\color{black}(n-3) - 3\color {red}n(n-1)(n-2)\color {black}=0$

$\color {red}n(n-1)(n-2)\color {black}\[(n-3)-3\]]=0$

Al1 · 07. 02. 2016 11:30

↑ Mazarini:

Platí: součin je roven nule, právě když je roven nule aspoň jeden z činitelů, tedy

$(n=0)\vee(n-1=0)\vee (n-2=0)\vee (n-6=0)$

A jak dobře poradil ↑ zdenek1:, rovnici řešíš v oboru přirozených čísel $n\ge4$ ,
$n=0, n=1, n=2$ řešením být nemůže

Mazarini · 07. 02. 2016 11:39

↑ misaH:

Děkuji !

A jak byste to tedy roznásobovala vy ?

Mazarini · 07. 02. 2016 11:43

↑ Al1:Omlouvám se, ale vůbec nechápu jak jste k úpravě přišel..

Al1 · 07. 02. 2016 11:48

↑ Mazarini:

V této rovnici se prostě neroznásobuje, protože pak bys řešil rovnici 4.stupně ,a to je obtížné, obtížnější, než použít součinový tvar rovnice.

např. řešení rovnice

$(x+8)(x-3)=0$ jsou čísla x=-8 a x=3, protože ještě jednou : součin je roven nule, právě když je roven nule aspoň jeden z činitelů

$[(x+8)(x-3)=0]\Leftrightarrow [(x+8=0)\vee (x-3=0)]$

Mazarini · 07. 02. 2016 11:58

↑ Al1:Dobře, tohle je mi jasné, ale jak jste v úpravě $(n=0)\vee(n-1=0)\vee (n-2=0)\vee (n-6=0)$ dospěl až k tvaru $\vee (n-6=0)$ ?

Al1 · 07. 02. 2016 12:13

↑ Mazarini:

Použiji zápis kolegyně ↑ misaH: (zdravím)

$n(n-1)(n-2)\[(n-3)-3\]]=0$ A poslední hranatá závorka po úpravě vypadá takto: $(n-3)-3=n-3-3=n-6$

Mazarini · 07. 02. 2016 12:30

Takže 1.krokem je anulování rovnice:
$\color {red}n(n-1)(n-2)\color{black}(n-3) - 3\color {red}n(n-1)(n-2)\color {black}=0$
po úpravě: $n(n-1)(n-2)\[(n-3)-3\]]=0$

2.krokem rozložit závorku $(n-3)-3=n-3-3=n-6$ , kde je pak n = 6..

Děkuji mnohokrát !

misaH · 07. 02. 2016 12:47

↑ Mazarini:

:-)

Al1 · 07. 02. 2016 12:55 — Editoval Al1 (07. 02. 2016 12:56)

↑ Mazarini:

Mazarini napsal(a):
2.krokem rozložit závorku $(n-3)-3=n-3-3=n-6$

závorku nerozkládáš, závorku odstraňuješ.

A druhý krok je spíše $(n=0)\vee(n-1=0)\vee (n-2=0)\vee (n-6=0)$

Pak $n=0\vee n=1\vee n=2\vee n=6$

A nakonec vzhledem k podmínkám řešení $n\in \mathbb{N}\wedge n\ge 4$ je závěr: $n=6$

Pokud bys dal na radu ↑ zdenek1:, pak by řešení bylo mnohem snažší:

Pro $n\in \mathbb{N}\wedge n\ge 4$
$n(n-1)(n-2)(n-3)=3n(n-1)(n-2) / \cdot \frac{1}{n(n-1)(n-2)}\nl n-3=3\nl n=6$

misaH · 07. 02. 2016 16:16

↑ Al1:

:-)

Matematické Fórum

#1 06. 02. 2016 22:52

Variace - rovnice

#2 06. 02. 2016 23:05

Re: Variace - rovnice

#3 06. 02. 2016 23:10

Re: Variace - rovnice

#4 07. 02. 2016 00:28

Re: Variace - rovnice

#5 07. 02. 2016 07:50 — Editoval misaH (07. 02. 2016 08:00)

Re: Variace - rovnice

#6 07. 02. 2016 11:25 Příspěvek uživatele Mazarini byl skryt uživatelem Mazarini. Důvod: nesmysl

#7 07. 02. 2016 11:30

Re: Variace - rovnice

#8 07. 02. 2016 11:39

Re: Variace - rovnice

#9 07. 02. 2016 11:43

Re: Variace - rovnice

#10 07. 02. 2016 11:48

Re: Variace - rovnice

#11 07. 02. 2016 11:58

Re: Variace - rovnice

#12 07. 02. 2016 12:13

Re: Variace - rovnice

#13 07. 02. 2016 12:30

Re: Variace - rovnice

#14 07. 02. 2016 12:47

Re: Variace - rovnice

#15 07. 02. 2016 12:55 — Editoval Al1 (07. 02. 2016 12:56)

Re: Variace - rovnice

Mazarini napsal(a):

#16 07. 02. 2016 16:16

Re: Variace - rovnice

Zápatí