Matematické Fórum

Dobrý den. Prosím o pomoc s tšmito příklady, jak na ně. Předem mockrát děkuju:

1) Ať A = {a1, a2, . . . , an} je neprázdná konečná množina. Permutace množiny A je zobrazení f : A → A, které je prosté a na. Množinu všech permutací na množině A značíme P(A).
Vypište všechny prvky množiny P({a1, a2, a3}), tj. vypište všechny permutace na množině A = {a1, a2, a3}.
(b) Dokažte, že <P({a1, a2, a3}), °> je monoid.
(c) Dokažte, že každý prvek <P({a1, a2, a3}), °> má inversi vzhledem k operaci °.
(d) Dokažte, že <P(A), °> je grupa pro každou konečnou množinu A.
V celém příkladu značí ° skládání zobrazení.

2. Nechť (G, ◦, e, ( )−1) je grupa. Označme Cen(G) = {a ∈ G, a ◦ x = x ◦ a pro všechna x ∈ G}.
Tato podmnožina grupy G se nazývá centrum grupy G a obsahuje pravě takové prvky z grupy G, které komutuji se všemi prvky v grupě G.
(a) Uvažujme-li grupu všech regulárních reálných čtvercových matic velikosti 2 × 2 s operaci násobeni, která z následujících matic je v centru teto grupy?
,
(b) Dokažte (pro obecnou grupu G), že podmnožina Cen(G) je uzavřena na operaci ◦, tedy že (Cen(G), ◦) je grupoid.
(c) Dokažte, že Cen(G) obsahuje neutrální prvek.
(d) Dokažte, že Cen(G) obsahuje všechny inverzní prvky.
(e) Je (Cen(G), ◦) pologrupa, monoid, grupa, či komutativní grupa?

3) Nechť A je neprázdná konečná množina a P(A) značí množinu všech permutací na množině A.
a) Vypište všechny permutace, tj. všechny prvky množiny P(A), je-li dáno A = {a, b, c}.
b] Detailně ukažte, že množina P(A), kde A = {a, b, c}, spolu s operací skládáni (kompozice) permutací ° tvoří grupu.
c) Ukažte, že grupa permutací (P(A), °, idA), kde A = {a, b, c}, není komutativní.
d) V permutací (P(A), °, idA), kde A = {a, b, c}, řešte rovnici α ° X = β pro neznámou permutaci λ. Je-li dáno:
, .
V rovnici je použit postfixový zápis, tj,  (x)(α ° X) = (x(α)X (argument funkce je psán zleva).